Problemas de Matemática

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\to 0} \frac{\tan(4x)}{\sin(5x)} = \frac{4}{5}\). 
 
176. Encontre a solução para a equação logarítmica \(\log_8(2x - 2) = 2\). 
 - Resposta: \(x = \frac{65}{2}\). 
 
177. Calcule a derivada da função \(f(x) = \ln(\sin(x))\). 
 - Resposta: \(f'(x) = \frac{\cos(x)}{\sin(x)}\). 
 
178. Resolva a equação diferencial \(\frac{dy}{dx} = \sin(x) - y\). 
 - Resposta: \(y(x) = -\cos(x) + Ce^{-x}\), onde \(C\) é a constante de integração. 
 
179. Encontre a integral indefinida de \(\int \frac{1}{x^2 + 4x + 4} \, dx\). 
 - Resposta: \(\int \frac{1}{x^2 + 4x + 4} \, dx = -\frac{1}{x + 2} + C\), onde \(C\) é a 
constante de integração. 
 
180. Determine o limite \(\lim_{x \to \infty} \frac{\ln(x^5)}{x}\). 
 - Resposta: \(\lim_{x \to \infty} \frac{\ln(x^5)}{x} = \lim_{x \to \infty} \frac{5\ln(x)}{x} = 0\). 
 
181. Calcule a derivada da função \(f(x) = \frac{\cos(x)}{\sin^2(x)}\). 
 - Resposta: \(f'(x) = -\frac{\sin(x)(\sin^2(x) + 2\cos^2(x))}{\sin^4(x)}\). 
 
182. Resolva a equação diferencial \(\frac{dy}{dx} = y\cos(x)\). 
 - Resposta: \(y(x) = Ce^{\sin(x)}\), onde \(C\) é a constante de integração. 
 
183. Encontre a integral indefinida de \(\int e^x \sin(4x) \, dx\). 
 - Resposta: \(\int e^x \sin(4x) \, dx = \frac{1}{17}(e^x(4\sin(4x) - \cos(4x))) + C\), onde \(C\) 
é a constante de integração. 
 
184. Determine o limite \(\lim_{x \to 0} \frac{\tan(5x)}{\sin(4x)}\). 
 - Resposta: \(\lim_{x \to 0} \frac{\tan(5x)}{\sin(4x)} = \frac{5}{4}\). 
 
185. Encontre a solução para a equação logarítmica \(\log_9(2x - 3) = 2\).