Matematica avancaçada-149

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- Resposta: Podemos reescrever a equação como \(\frac{dy}{dx} = \frac{x^{18}}{xy} + 
\frac{y^{18}}{xy} = \frac{x^{17}}{y} + \frac{y^{17}}{x}\). Esta é uma equação diferencial 
separável. Separando as variáveis, obtemos \(y \, dy = x^{17} \, dx + y^{17} \, dx\). 
Integrando ambos os lados, chegamos a \(\frac{1}{2}y^2 = \frac{1}{18}x^{18} + 
\frac{1}{18}y^{18} + C\), onde \(C\) é uma constante de integração. Portanto, a solução 
geral é \(y^2 = \frac{1}{36}x^{18} + \frac{1}{36}y^{18} + C\). 
 
433. Determine o limite \(\lim_{x \to \infty} \frac{x^{18} + 17x^{16} + 16}{16x^{18} - 15x + 
13}\). 
 - Resposta: Dividindo todos os termos por \(x^{18}\) para encontrar o limite, obtemos 
\(\lim_{x \to \infty} \frac{1 + \frac{17}{x^2} + \frac{16}{x^{18}}}{16 - \frac{15}{x^{17}} + 
\frac{13}{x^{18}}}\). À medida que \(x\) se aproxima do infinito, os termos com 
\(\frac{1}{x^2}\) e \(\frac{1}{x^{18}}\) se aproximam de zero, então o limite se torna \(\frac{1 
+ 0 + 0}{16 - 0 + 0} = \frac{1}{16}\). 
 
434. Calcule a integral indefinida de \(\int \frac{x}{x^2 - 324} \, dx\). 
 - Resposta: Podemos fazer a substituição \(u = x^2 - 324\), então \(du = 2x \, dx\). A 
integral se torna \(\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} \, du = \frac{1}{2} \ln|u| + C = \frac{1}{2} \ln|x^2 - 
324| + C\), onde \(C\) é a constante de integração. 
 
435. Encontre a solução para a equação \(18^x = 262144\). 
 - Resposta: Podemos reescrever \(262144\) como \(18^4\), então a equação se torna 
\(18^x = 18^4\), implicando que \(x = 4\). 
 
436. Calcule a derivada de \(f(x) = \log_{18}(x^2)\). 
 - Resposta: Utilizando a regra da cadeia e a derivada do logaritmo, a derivada é \(f'(x) = 
\frac{2}{x \ln(18)}\). 
 
437. Resolva a equação diferencial \(\frac{dy}{dx} = \frac{x^{19} + y^{19}}{xy}\). 
 - Resposta: Podemos reescrever a equação como \(\frac{dy}{dx} = \frac{x^{19}}{xy} + 
\frac{y^{19}}{xy} = \frac{x^{18}}{y} + \frac{y^{18}}{x}\). Esta é uma equação diferencial 
separável. Separando as variáveis, obtemos \(y \, dy = x^{18} \, dx + y^{18} \, dx\). 
Integrando ambos os lados, chegamos a \(\frac{1}{2}y^2 = \frac{1}{19}x^{19} + 
\frac{1}{19}y^{19} + C\), onde \(C\) é uma constante de integração. Portanto, a solução 
geral é \(y^2 = \frac{1}{38}x^{19} + \frac{1}{38}y^{19} + C\). 
 
438. Determine o limite \(\lim_{x \to \infty} \frac{x^{19} + 18x^{17} + 17}{17x^{19} - 16x^8 + 
14}\).