Cálculos de Derivadas e Limites

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**Explicação:** A derivada de \(f(x)\) em \(x = 0\) não existe porque \(\sin(0)\) resulta em 
uma divisão por zero dentro do logaritmo. 
 
149. Qual é o resultado de \(\int_0^{\frac{\pi}{3}} \frac{1}{\sin(x)} \, dx\)? 
 a) \(\ln(2)\) 
 b) \(\ln(3)\) 
 c) \(\ln\left(\frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3} - 1}\right)\) 
 d) \(\ln\left(\frac 
 
{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{3} + 1}\right)\) 
 **Resposta:** c) \(\ln\left(\frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3} - 1}\right)\) 
 **Explicação:** Para resolver esta integral, podemos usar a substituição direta, 
deixando \(u = \sin(x)\). 
 
150. Se \(f(x) = \frac{1}{x}\), qual é o valor de \(f''(1)\)? 
 a) \(f''(1) = 0\) 
 b) \(f''(1) = \frac{1}{4}\) 
 c) \(f''(1) = -1\) 
 d) \(f''(1)\) não existe 
 **Resposta:** c) \(f''(1) = -1\) 
 **Explicação:** A segunda derivada de \(f(x) = \frac{1}{x}\) é \(f''(x) = -\frac{2}{x^3}\). 
Substituindo \(x = 1\), obtemos \(f''(1) = -2\). 
 
151. Qual é o valor de \(\lim_{x \to 0} \frac{\cos(2x)}{\sin(x)}\)? 
 a) 0 
 b) 1 
 c) \(\frac{1}{2}\) 
 d) Indefinido 
 **Resposta:** d) Indefinido 
 **Explicação:** Este limite é uma forma indeterminada do tipo \(\frac{0}{0}\). Utilizando 
a definição de seno e cosseno, temos \(\lim_{x \to 0} \frac{2\cos(x)}{\sin(x)} = 2\).