[2] Aula 4

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29 de abril de 2024
Continuando com a interpretação de Born para a função de onda e com a equação de Schrödinger
A função de onda ψ é a amplitude de probabilidade no sentido de que seu 
módulo quadrado (ψ*ψ ou |ψ|2) é uma densidade de probabilidade. 
A probabilidade de encontrar uma partícula na região dx localizada em x é 
proporcional a |ψ|2 dx. 
Representamos a densidade de probabilidade pela densidade de 
sombreamento na banda sobreposta.
A função de onda Ψ
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Interpretação de Born para a Ψ.
ΨΨ=Ψ *2Amplitude de E
Ψ2, em módulo, é a densidade de probabilidade. 
 Isto significa que a equação de Born representa a probabilidade de se encontrar a 
partícula em um intervalo entre x e x+dx, a um tempo t. 
A probabilidade de encontrar a partícula em um ponto x qualquer é dada pela densidade, 
determinada pelo quadrado da Ψ em cada ponto.
Se a amplitude da função de onda da partícula é Ψ, em algum ponto x, a probabilidade de se 
encontrar a partícula entre x e (x + dx) é proporcional a Ψ*Ψ dx.
Ψ = amplitude de probabilidade
Ψ∗Ψ = densidade de probabilidade = 
 
 = módulo quadrado de Ψ (real e nunca negativo) 
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Interpretação de Born para a Ψ.
A probabilidade de se encontrar a partícula em um elemento de volume dτ = dx.dy.dz, em 
uma localização r, é proporcional ao produto de dτ e o valor de Ψ*Ψ neste local.
Interpretação de Born para a Ψ, para um volume dτ.
A interpretação de Born impôs várias restrições às funções de onda.
(b) Inaceitável, porque a inclinação é descontínua.
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(a) Inaceitável, porque não é contínua.
As funções de onda devem ser: 
- contínuas, porque as probabilidades não podem ter valores indefinidos em nenhum ponto; 
(c) Inaceitável, porque não tem valor único.
(d) Inaceitável, porque é infinita sobre uma 
região finita.
- unívocas, porque a probabilidade (módulo ao quadrado das funções) em cada ponto não 
pode ter valores diferentes; 
- finitas em todos os pontos do espaço, porque probabilidades são finitas.
A interpretação de Born impôs várias restrições às funções de onda, outros exemplos:
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(a) Inaceitável, 
porque a função 
deve ser contínua;
(c) Inaceitável, porque a 
função deve ser unívoca;
(d) Inaceitável, porque ψ 
não deve ter valores 
infinitos, exceto casos 
excepcionais.
(b) Aceitável, porque a 
inclinação deve ser 
contínua;
Aceitável, porque a 
função é unívoca.
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Para melhor compreendermos o significado das funções de onda:
1) Ψ é uma função matemática (tais como sen x ou exp -x) que pode ser larga 
(grande) em uma região, curta (pequena) em outra, ou zero;
2) Ψ contém todas as informações possíveis de se conhecer sobre a localização ou o 
movimento das partículas por ela descrita;
3) Se Ψ é larga em um ponto, então a partícula tem alta probabilidade de estar 
neste ponto; se Ψ é zero em um ponto, a partícula não pode estar lá 
localizada;
4) Quanto mais rapidamente Ψ mudar, de ponto para ponto, maior será a Ek da 
partícula por ela descrita.
A função de onda Ψ
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A equação de Schrödinger (repetindo este slide, mas este passo já foi 
visto na aula passada)
A equação de Schrödinger independente do tempo, sistemas unidimensionais:
na qual V (x) é a energia potencial da partícula e E é sua energia total. 
No caso geral, a equação de Schrödinger é escrita: em que é o operador 
hamiltoniano.
Para o sistema tridimensional tem-se:
em que V pode depender da posição. 
O símbolo ∇2 ('del quadrado') é
Para a evolução de um sistema com o tempo, é necessário resolver a equação de Schrödinger 
dependente do tempo :
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Embora a equação de Schrödinger deva ser considerada um postulado, como as 
equações de movimento de Newton, pode ser plausível notar que ela implica na relação 
de de Broglie para uma partícula em movimento livre em uma região com energia 
potencial constante V. 
 Ao se fazer o substituição V(x) = V
e reorganizar tem-se:
Na MQ, uma função de onda que descreve a distribuição espacial de uma 
partícula (uma "função de onda espacial") é complexa se a partícula descrita tem um 
movimento líquido. 
 No caso presente, podemos usar a relação eiθ = cos θ + i sin θ para escrever:
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As partes real (no gráfico ao lado: Re) e 
imaginária (Im) de ψ estão desenhadas ao 
lado.
Vemos que o componente imaginário 
Im(ψ) = sin kx é deslocado na direção do 
movimento da partícula. 
Ou seja, 
ambas as partes, real e imaginária da função de onda, são "reais", no sentido de 
estarem presentes. Expressamos ψ como uma função complexa simplesmente para 
ajudar na visualização do movimento da partícula descrito pela função de onda. 
A função cos kx (ou sen kx) representa uma onda de comprimento de onda 
λ = 2π / k, como pode ser visto comparando cos kx com a forma padrão de uma 
onda harmônica, cos (2πx / λ). 
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Portanto, o momento linear está relacionado ao comprimento de onda da função de onda 
por
que é a relação de de Broglie, como já vimos.
Como EK = p2 / 2m, segue-se que
A quantidade (E – V) é igual à energia cinética da partícula, EK, então k = (2mEK / ћ2 )1/2, o que 
implica que EK = k2h2 / 2m. 
Os números complexos têm a forma z = x + iy, na qual i = (−1)1/2 
e os números reais x e y correspondem às partes real e imaginária de z, denotadas Re(z) e Im(z), 
respectivamente.
Da mesma forma, uma função complexa da forma f = g + ih, em que g e h são funções de 
argumentos reais, têm uma parte real Re(f) = g e uma parte imaginária Im(f) = h.
O gráfico mostra as partes real (lilás) e imaginária (verde) de 
uma função de onda de partícula livre correspondendo ao 
movimento em direção a x positivo (conforme mostrado pela 
seta).
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Se o potencial é constante, em V, a solução da equação é:
em que:
Sen kx ou cos kx são ondas de comprimento de onda λ = 2 π / k
 Como Ek = (E – V) 
e p é momentum linear, relacionado ao λ, da Ψ:
Ek = p2 / 2m 
Resumindo
Esta equação mostra que quanto maior for a 
diferença entre a Et e a Ep, mais curto é o comprimento 
de onda da função de onda.
Ou seja, quanto maior Ek, menor é o λ.
Se a partícula estiver em repouso, Ψ é constante. 
(Ek = 0, partícula estacionária → λ = infinito → 
Ψ = tem o mesmo valor em qualquer lugar)
Se Ψ não tem forma de onda periódica, interpreta-
se a curvatura de Ψ como uma derivada segunda: 
d2Ψ / dx2
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Alta Ek → curto λ;
baixa Ek → largos λ.
A Ek observada para uma partícula é a 
média das contribuições de Ek de cada 
região. (Integra-se todo o espaço 
coberto pela Ψ)
A Ψ da partícula, para um potencial 
decrescendo para a direita, e, por isto, 
submetido a força constante para a direita 
implica em: 
- o λ decresce à medida que a contribuição 
local para a Ek aumenta;
- a diferença (E-V) = Ek aumenta da esquerda 
para a direita.
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A equação de Schrödinger para uma partícula de massa m livre para se mover paralelamente 
ao eixo x com energia potencial zero, definindo V = 0, é obtida por:
As soluções desta equação têm a forma:
Para verificar se ψ é uma solução da equação de Schrödinger acima, substitui-se ψ no lado 
esquerdo da equação e confirma-se que se obtém Eψ:
na qual A e B são constantes. 
Schrödinger - Funções de onda (Ψ) – Partícula livre
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Consideremos A e B como constantes arbitrárias. Se B = 0 na equação 
 , a função de onda é, 
 simplesmente
Aonde está a partícula? 
Para descobrir, calculamos a densidade de probabilidade:
Essa densidade de probabilidade é independente de x, portanto, onde quer que 
olhemos ao longo do eixo x, há uma probabilidade igual de encontrar a partícula. 
Figura a. O módulo quadrado de uma função de 
onda correspondendo a um estado definido de 
momento linear é uma constante; portanto, 
corresponde a uma probabilidade uniforme de 
encontrar a partícula em qualquer lugar. 
Schrödinger - Funções de onda (Ψ) – Partícula livre
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Ou seja, se a função de onda da partícula for dada pela eq. , então, 
não se pode prever onde apartícula será encontrada. 
O mesmo seria verdadeiro se a função de onda, na equação 
 tivesse A = 0.
Nesse caso, a densidade de probabilidade seria |B|2, uma constante. Agora suponha que na 
função de onda A = B. 
Então a equação anterior se torna:
Figura b. Distribuição de probabilidade 
correspondendo à superposição de estados de 
igual magnitude de momento linear. A direção é 
oposta ao deslocamento.
Essa função é ilustrada na figura b, abaixo. 
Schrödinger - Funções de onda (Ψ) – Partícula livre
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A densidade de probabilidade varia periodicamente entre 0 e 4 
|A|2. 
Os locais nos quais a densidade de probabilidade é zero 
correspondem aos nós na função de onda: partículas nunca 
serão encontradas nos nós.
Retomando a equação do slide anterior:
Um nó é um ponto onde uma função de onda passa por zero. 
O local onde uma função de onda se aproxima de zero, mas não passa, realmente, por zero não é 
um nó. 
Os nós são definidos em termos de amplitude de probabilidade, a função de onda em si. 
A densidade de probabilidade nunca passa através do zero porque não pode ser negativa.
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Se a densidade de probabilidade de uma partícula é uma constante, segue-se que, 
com x variando de −∞ a + ∞, as constantes de normalização, A ou B, são 0. 
Para evitar este problema, x pode variar de - L para + L, e L pode ir até o infinito no 
final de todos os cálculos. 
Para nossos objetivos, ignoramos essa complicação.
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Postulado I. Para cada partícula de massa m existe uma função de onda ψ(x).
 Postulado II. Para uma partícula de massa m, com energia total clássica constante (E), e 
energia potencial (Ep) dada por uma função V(x,y,z), a função de onda que satisfaz a 
equação de Schrödinger é:
Postulado III. A função de onda ψ e sua derivada dψ/dx devem ser finitas, unívocas e 
contínuas, para todos os valores de x.
Postulado IV. A função de onda deve conter informações sobre a localização da 
partícula, ou seja, a partícula deve estar em algum lugar do espaço.
Postulado V. Vários experimentos idênticos são efetuados para determinar a energia, a 
posição ou o momentum de grande número de sistemas quânticos independentes. Há 
uma expressão, denominada “valor esperado”, que conterá o valor médio das grandezas 
medidas nesses sistemas. Vocês verão esta parte em Q. Quântica, pois sai do escopo 
dessa disciplina.
Postulados da Mecânica Quântica
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