Movimento em Caixas e Dimensões

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Movimento translacional
A partícula em uma caixa 
Uma partícula de massa m, confinada em uma caixa, entre 
duas paredes em x = 0 e x = L.
A energia potencial é zero dentro da caixa, mas aumenta 
abruptamente até infinito, nas paredes. 
A partícula em uma caixa - Soluções aceitáveis
A equação de Schrödinger para a região entre as paredes (onde V = 0) é a mesma 
que para uma partícula livre, então, as soluções gerais também são as mesmas.
Absorvendo-se todos os fatores 
numéricos em dois novos coeficientes C e D, 
as soluções gerais são:
B7- IQM - Módulo 2 - 13 de maio de 2024
Revisão do final da última aula, movimento translacional, evoluindo para o
movimento em 2D, 3 D e o efeito túnel
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Movimento translacional
Se considerarmos que cada função de onda é uma onda de Broglie que deve caber 
dentro do recipiente, os comprimentos de onda permitidos devem satisfazer as 
relações:
A partícula só possui energia cinética dentro da caixa (onde V = 0), então, as 
energias permitidas são:
Normalização
Ao se derivar as funções de onda para encontrar a constante de normalização (N, 
considerada real, ou seja, não contém i), procura-se o valor de N no qual a integral de ψ2 
cubra todo o espaço disponível para a partícula.
A solução é: 
Isto significa que deve ser igual a 1 (isto é, de x = 0 a x = L), para qualquer n :
Níveis de 
energia 
permitidos 
para uma 
partícula em 
uma caixa 
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Movimento translacional
As funções de onda e energias são rotuladas com o 'número quântico' n. 
Um número quântico é um número inteiro que define o estado do sistema. 
Para uma partícula em uma caixa há um número infinito de soluções aceitáveis, 
e o número quântico n especifica aquela de interesse. 
Além de atuar como um rótulo, um número quântico muitas vezes pode ser 
usado para calcular a energia correspondente ao estado e para escrever a função de 
onda de forma explicita.
Observe-se que os níveis de energia aumentam em 
termos de n2, e a separação aumenta à medida que o 
número quântico aumenta.
Como n não pode ser zero (n ≠ 0), a energia mais 
baixa da partícula é diferente de zero (como seria 
permitido pela mecânica clássica, correspondendo a uma 
partícula estacionária).
Essa energia mais baixa e irremovível é o ponto zero 
de energia. 
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Propriedades das soluções
a) Pelo princípio da incerteza uma partícula deve ter Ek se estiver confinada a 
uma região finita; a localização da partícula não é completamente indefinida, de 
modo que seu momento não pode ser precisamente zero. 
Portanto, tem Ek ≠ 0. 
A origem física da energia do ponto zero pode ser explicada de duas maneiras. 
b) Como a função de onda deve ser zero nas paredes, mas suave, contínua e não zero 
em todos os outros lugares, então, ela deve ser curva, e a curvatura em uma função de 
onda implica em que há energia cinética.
A separação entre níveis de energia adjacentes com números quânticos n e n + 1 é:
Movimento translacional
Cinco primeiras funções de onda normalizadas de uma 
partícula em uma caixa .
Cada função de onda é uma onda estacionária.
Funções sucessivas possuem uma meia onda a mais e um comprimento de onda 
correspondentemente menor.
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Movimento translacional
(a) As duas primeiras funções de onda;
(b) probabilidade correspondente às distribuições;
(c) representação da distribuição de probabilidade.
A densidade de probabilidade para uma partícula em 
uma caixa é: 
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Para se calcular, com precisão, a energia de confinamento de uma
partícula, a equação de Shrödinger é necessária e, para se calcular um
átomo mais realista, é necessário limitar seu deslocamento, não
somente em x mas, também, nas outras direções.
A partícula confinada
Uma melhor aproximação pode ser obtida pela análise de partículas
em caixa de três dimensões.
Comecemos por uma caixa bidimensional.
Movimento em duas ou mais direções
Poço quadrado bidimensional. 
Suas paredes são impenetráveis.
A partícula está confinada em 
uma superfície retangular de 
comprimento L, em que L1 
corresponde à direção x e L2, à 
direção y. 
A Ep (ou V) é zero para qualquer 
ponto, exceto nas paredes, onde é 
infinita. 
Griffiths, David J. (2004). Introduction to Quantum Mechanics (2nd ed.). Prentice Hall. 
ISBN 0-13-111892-7. 
de x e y. Escreve-se ψ = ψ (x,y)
Ver simulação em: http://www.quantumphysics.polytechnique.fr/fr/pages/p0404.html
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Movimento em duas e em três dimensões
A equação de Schrödinger é , em que ψ é função
http://pt.wikipedia.org/wiki/Especial:Fontes_de_livros/0131118927
As eq. diferenciais parciais 
podem ser resolvidas pelo método 
de separação de variáveis. 
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Dividindo-se por XY: 
na qual d2X/dx2 = X" e d2Y/dy2= Y"e
Pode-se, então, escrever a função de 
onda como o produto de funções, uma 
dependente de x, outra de y.
e
A eq. completa é dividida em 
uma ou mais eq. diferenciais 
ordinárias, cada uma, com uma 
variável. 
Separação de variáveis
e
X"/X é independente de y, portanto, uma variação em y somente poderá
mudar o termo Y"'/Y.
No entanto, pela equação
variações em Y"/Y, sem se alterar X"/X, mudará a E.
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Separação de variáveis
e
Observe-se que E é constante, então Y"/Y deverá, também, ser uma
constante, independente de Y.
O mesmo raciocínio pode ser utilizado para mostrar que X"/X é
independente de X. Como X"/X e Y"/Y são constantes, pode-se escrever:
, em que Ex + Ey = E.
Pela notação precedente para X" e Y" obtém-se:
e
Observe-se que a forma é a mesma da equação de Schrödinger
unidimensional.
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Como ψ = XY e E = Ex + Ey, as soluções são :
e
Como e
Separação de variáveis
Degenerescência da solução 
No caso em que as dimensões da caixa são idênticas, isto é, L1 = L2 = L, tem-
se: 
 
 em que n1 =1, 2, . . . e n2 =1, 2, . . .
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Caso n1 = 1 e n2 = 2
Caso n1 = 2 e n2 = 1
Caso n1 = 1 e n2 = 1 
Degenerescência da solução 
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Caso n1 = 2 e n2 = 2
Observe-se que, quando dois ou mais comprimentos são iguais (p. ex. Lx 
= Ly), há várias funções de onda com a mesma energia total. 
No exemplo, a função com onda nx = 2, ny = 1 tem a mesma energia que 
a função com onda nx = 1, ny = 2. Isso é chamado de degenerescência. 
Para o caso de duas funções de onda degeneradas terem a mesma 
energia, o nível de energia é dito duplamente degenerado. 
A degenerescência resulta da simetria do sistema: no caso da página 
anterior (pg. 13), dois comprimentos são iguais, o sistema é, portanto, 
simétrico, com uma rotação de 90°. 
E, por exemplo, se a onda for Ψ1,2,4, quando nx = 1, ny = 2 e nz = 4, a 
energia será 
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Resumo - Separação de variáveis
Resumo - Degenerescência da solução 
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Para n1 = 1, n2 = 2 e n1 = 2, n2 = 1
(a) n1 = 1, n2 = 1, estado de mais baixa energia;
(b) n1 = 1, n2 = 2; (c) n1 = 2, n2 = 1;
 (d) n1 = 2, n2 = 2.
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Uma partícula incide sobre a barreira, a 
partir da esquerda, e tem uma função de onda 
oscilatória. Dentro da barreira de altura 
constante, V > 0 e é constante. 
Efeito túnel
Se a Ep dentro da barreira for tão grande que V se torna maior do que 
E, tem-se (V - E) > 0, a partícula decairá exponencialmente para E < V. 
Se a barreira não for muito espessa, a ψ é diferente de zero na face 
oposta e, então, oscila, o que corresponde à partícula penetrando na 
barreira.
Quando uma partícula está nas paredes do recipiente e sua energia não 
aumenta até o infinito, a função de onda não decai abruptamente a zero. 
Se as paredes forem finas, o decaimento exponencial de ψ vai parar e a 
oscilação recomeçará. Portanto, a partícula poderá ser encontrada no 
exterior da caixa. 
Pela M.Clássica, a partícula não teria energia suficiente para escapar 
da parede. Tal fuga através das zonas proibidas classicamente é chamada 
de “efeito túnel”.
Ver demonstração em http://en.wikipedia.org/wiki/Quantum_tunneling
Efeito túnel
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Na mecânica clássica, a bola solta após o ponto A não pode subir 
mais alto do que o ponto B (Lei da dinâmica).
Na mecânica quântica, o elétron, ao chegarao ponto B pode, 
pelo efeito túnel, atingir o ponto C situado do outro lado da colina.
Efeito túnel. O decaimento da ψ dentro da barreira.
• Pode-se calcular a probabilidade do efeito túnel, e sua 
degenerescência, tendo-se a massa da partícula. 
• Dentro da barreira, região em que V > 0, a eq de Schrödinger é: 
 
• A solução geral para essa função é: 
• Ψ = A ekx + B e–kx em que k = [2m (V-E) / ħ2]1/2 
 
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A solução é obtida diferenciando-se Ψ duas vezes, em relação a x. 
Observe-se que os exponenciais, agora, são funções reais (funções 
oscilatórias dentro da caixa). Se V não retoma o valor zero, o primeiro 
termo cresce sem valor limite com o aumento de x, e se aproximará do 
infinito. O único caminho que poderá garantir que a ψ não será infinita 
será aquele em que A = 0.
Ψ = A ekx + B e–kx
Por isto, dentro de uma longa barreira, a ψ é:
 
 Ψ = B e–kx , o decaimento é exponencial e 
 tende a zero, com o aumento de x.
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Como ψ decresce exponencialmente dentro da parede, e isto com uma 
razão de massa m½, partículas de baixa massa estão mais aptas a formar 
o túnel através de barreiras mais pesadas. 
O efeito túnel é mais importante para elétrons, moderadamente 
importante para prótons e pouco importante para partículas pesadas.
Efeito túnel. O decaimento da ψ dentro da barreira.
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Uma partícula incide sobre uma barreira, vindo 
da esquerda, com uma função de onda oscilatória. 
Dentro da barreira não há oscilações (para E <V). 
Soluções gerais são:
Efeito túnel
como podemos verificar, diferenciando ψ duas vezes em relação a x. 
Se a barreira não for muito espessa, a função de 
onda é diferente de zero, na face oposta. Assim 
começa a oscilar novamente. 
A figura mostra somente o componente real da 
função de onda.
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Vamos ver novamento o Efeito túnel
A característica importante a ser observada é que as duas funções 
exponenciais agora são funções reais, distintas das funções complexas e 
oscilantes para a região onde V = 0 (funções oscilantes seriam obtidas se E > 
V). 
À direita da barreira (x > L), em que V = 0, novamente, as funções de 
onda são:
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Resumo. Movimento em 2D e 3D
O componente reflexo representa o momentum para a esquerda. 
O componente varia, mas não oscila dentro da barreira, e uma onda 
fraca representa o movimento para a direita do outro lado da barreira. 
Soluções gerais são:
Quando uma 
partícula vem da 
esquerda e incide 
sobre uma barreira, 
a função de onda 
consiste em uma 
onda que representa 
o momentum linear 
para a direita. 
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O elétron não perde nenhuma energia ao 
cruzar uma barreira. O elétron tem 
exatamente a mesma energia depois de cruzar 
a barreira e antes de atravessá-la, uma vez que 
a energia potencial é exatamente a mesma em 
cada lado. 
Como a amplitude varia conforme a 
probabilidade de encontrar o elétron neste local, a 
amplitude é menor porque poucos elétrons 
conseguem atravessar a barreira, não porque a 
energia dos elétrons seja menor.
Isso não quer dizer que não haja conexão entre energia e amplitude. 
Notamos, com o oscilador harmônico, que a amplitude aumenta quando a 
energia potencial aumenta (porque a energia cinética então é menor, o que significa 
que a partícula está indo mais devagar naquele local e que, portanto, é mais 
provável que esteja naquele local). 
Esta ligação é geralmente verdadeira, a menos que haja uma barreira, como no 
caso do tunelamento. Neste caso, as amplitudes poderiam ser diferentes em cada lado 
da barreira, mesmo que as energias potenciais fossem as mesmas.
Observações complementares
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O efeito túnel, ou tunelamento, é a base do microscópio de tunelamento 
de varredura (é deste jeito!), dispositivo de precisão inigualável, inventado 
em 1981. 
Uma ponta muito afiada (há apenas um átomo na extremidade) passa 
sobre uma superfície. A ponta está carregada de elétrons e a superfície está 
carregada positivamente. 
Microscópio de tunelamento de varredura 
Os elétrons são atraídos para a superfície. Pela MC não poderiam se 
dirigir para esta superfície, por não terem energia suficiente para 
atravessar o espaço entre a ponta e a superfície. 
Porém, com o efeito túnel, alguns 
elétrons conseguem atravessar o espaço 
e chegar à superfície. 
Quanto menor for o espaço entre a 
ponta e a superfície, mais elétrons 
podem atravessá-lo. 
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Superfície de silício
O número de elétrons que passa é medido 
facilmente pela corrente que passa pela 
ponta (a corrente aumenta à medida que 
mais elétrons passam). Quanto maior a 
corrente, mais próxima a superfície está da 
ponta. Ao digitalizar a superfície, pode-se 
determinar a forma da superfície.
A imagem abaixo foi feita em abril de 1990. É o resultado da 
primeira manipulação de átomos com o microscópio fabricado na IBM. 
Os átomos foram movidos para escrever as letras IBM em uma 
superfície metálica.
www.youtube.com/watch?v=oSCX78-8-q0
Microscópio de tunelamento de varredura 
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Informações suplementares
Os três slides a seguir são para vocês lerem, depois que tiverem estudado 
a Separação de variáveis e a Degenerescência da solução, certo?
Caso contrário, não dá para entender.
 
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Como seria um diagrama de energia? Vejamos um exemplo.
Se uma partícula tem uma energia, para a qual existem vários níveis, a 
partícula está em todos os níveis ao mesmo tempo. 
Por ex., com uma energia de 6h²/8mL², a partícula estará nos três 
estados denotados por Ψ1,1,2; Ψ1,2,1 e Ψ2,1,1. Somente se medirmos o estado 
da partícula é que o nível será determinado
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No estado estável, os elétrons se encontram sempre no nível de energia 
o mais baixo possível. Em caso de empate, podemos escolher qualquer 
nível. Se precisarmos colocar 2 elétrons nos 3 níveis Ψ1,2,2, Y2,1,2 e Y2,2,1, 
não importa qual a escolha, os dois elétrons estão, na verdade, em um 
estado que é uma superposição de todos os três níveis.
Vejamos, a seguir, um exemplo da caixa tridimensional para ilustrar 
o Princípio de Pauli (spin, veremos no módulo 3). 
Princípio de exclusão de Pauli
Vamos colocar 10 elétrons na caixa. Os níveis de energia serão 
descritos por nx, ny e nz, mas a energia dos níveis será diferente daquela 
de quando há um único elétron na caixa (Isto não está sendo indicado, no 
diagrama da próxima página). 
A repulsão entre os elétrons adiciona energia potencial, o que eleva 
um pouco os níveis de energia em comparação com o que tínhamos com 
um único elétron. 
O Princípio de Exclusão nos diz que não podemos colocar os 10 
elétrons no nível mais baixo, porque eles estariam no mesmo estado. Isso é 
proibido por este princípio. Cada elétron deve ter um estado distinto.
 
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Princípio de exclusão de Pauli
Configuração que 
possui a energia mais 
baixa para 10 elétrons 
na caixa.
No diagrama abaixo podemos observar a configuração 
que possui a energia mais baixa para os 10 elétrons da caixa.
Com um spin ½, um elétron tem 2 estados distintos, 
dependendo da orientação do spin. Isso significa que podemos 
colocar 2 elétrons em cada nível de energia.
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	Número do slide 10
	Degenerescência da solução 
	Degenerescência da solução 
	Resumo - Separação de variáveis
	Resumo - Degenerescência da solução 
	Número do slide 15
	Número do slide 16
	Efeito túnel. O decaimento da y dentro da barreira.
	Número do slide 18
	Número do slide 19
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