Problemas com Logaritmos

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9} \frac{x^2 - 4x + 4}{x - 9} = \lim_{x \to 9} (x - 4) = 5\). 
 
388. Problema: Resolva a inequação \(\log_3(x - 2) - \log_3(x - 5) > 1\). 
 Resposta: Aplicando a propriedade dos logaritmos, podemos escrever a inequação 
como \(\log_3\left(\frac{x - 2}{x - 5}\right) > 1\). Convertendo para forma exponencial, 
temos \(\frac{x - 2}{x - 5} > 3^1 = 3\). Resolvendo esta desigualdade, encontramos \(x \in (5 
+ \frac{1}{2}, 2 + \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{13}}{2})\). 
 
389. Problema: Se \(f(x) = \log_3(x - 2) - \log_3(x - 5)\), determine o domínio de \(f(x)\). 
 Resposta: O domínio de \(f(x)\) é \(x \in (5, \infty)\), pois os argumentos dos logaritmos 
devem ser positivos e diferentes entre si. 
 
390. Problema: Calcule \(\lim_{x \to 5^+} \log_3(x - 2) - \log_3(x - 5)\). 
 Resposta: Como \(x\) se aproxima de \(5\) pelo lado direito, \((x - 5)\) se aproxima de 
\(0^+\), então o segundo logaritmo se torna \(-\infty\). Logo, o limite não existe. 
 
391. Problema: Resolva a inequação \(\log_2(x - 1) - \log_2(x - 5) > 1\). 
 Resposta: Aplicando a propriedade dos logaritmos, podemos escrever a inequação 
como \(\log_2\left(\frac{x - 1}{x - 5}\right) > 1\). Convertendo para forma exponencial, 
temos \(\frac{x - 1}{x - 5} > 2^1 = 2\). Resolvendo esta desigualdade, encontramos \(x \in (5 
+ \sqrt{5}, 1 + 2\sqrt{2})\). 
 
392. Problema: Se \(f(x) = \log_2(x - 1) - \log_2(x - 5)\), determine o domínio de \(f(x)\). 
 Resposta: O domínio de \(f(x)\) é \(x \in (5, \infty)\), pois os argumentos dos logaritmos 
devem ser positivos e diferentes entre si. 
 
393. Problema: Calcule \(\lim_{x \to 5^+} \log_2(x - 1) - \log_2(x - 5)\). 
 Resposta: Como \(x\) se aproxima de \(5\) pelo lado direito, \((x - 5)\) se aproxima de 
\(0^+\), então o segundo logaritmo se torna \(-\infty\). Logo, o limite não existe. 
 
394. Problema: Resolva a inequação \(\frac{x^2 - 4x + 4}{x - 10} > 0\). 
 Resposta: A função é indefinida em \(x = 10\), então precisamos testar os intervalos \((-
\infty, 10)\), \((10, \infty)\), e \(x = 10\) separadamente. No intervalo \((-\infty, 10)\), a 
função é positiva, no intervalo \((10, \infty)\), a função é positiva, e em \(x = 10\), a função 
é indefinida. Portanto, não há soluções para a inequação.