Problemas de Logaritmos

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402. Problema: Calcule \(\lim_{x \to 10^+} \log_2(x - 1) - \log_2(x - 10)\). 
 Resposta: Como \(x\) se aproxima de \(10\) pelo lado direito, \((x - 10)\) se aproxima de 
\(0^+\), então o segundo logaritmo se torna \(-\infty\). Logo, o limite não existe. 
 
403. Problema: Resolva a inequação \(\frac{x^2 - 4x + 4}{x - 11} > 0\). 
 Resposta: A função é indefinida em \(x = 11\), então precisamos testar os intervalos \((-
\infty, 11)\), \((11, \infty)\), e \(x = 11\) separadamente. No intervalo \((-\infty, 11)\), a 
função é positiva, no intervalo \((11, \infty)\), a função é positiva, e em \(x = 11\), a função 
é indefinida. Portanto, não há soluções para a inequação. 
 
404. Problema: Se \(f(x) = \frac{x^2 - 4x + 4}{x - 11}\), determine o domínio de \(f(x)\). 
 Resposta: O domínio de \(f(x)\) é \(\mathbb{R} \backslash \{11\}\), pois a função não é 
definida para \(x = 11\). 
 
405. Problema: Calcule \(\lim_{x \to 11} \frac{x^2 - 4x + 4}{x - 11}\). 
 Resposta: Aplicando a substituição direta, obtemos \(\lim_{x \to 11} \frac{x^2 - 4x + 4}{x - 
11} = \lim_{x \to 11} (x - 4) = 7\). 
 
406. Problema: Resolva a inequação \(\log_3(x - 2) - \log_3(x - 11) > 1\). 
 Resposta: Aplicando a propriedade dos logaritmos, podemos escrever a inequação 
como \(\log_3\left(\frac{x - 2}{x - 11}\right) > 1\). Convertendo para forma exponencial, 
temos \(\frac{x - 2}{x - 11} > 3^1 = 3\). Resolvendo esta desigualdade, encontramos \(x \in 
(11 + \frac{1}{2}, 2 + \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{13}}{2})\). 
 
407. Problema: Se \(f(x) = \log_3(x - 2) - \log_3(x - 11)\), determine o domínio de \(f(x)\). 
 Resposta: O domínio de \(f(x)\) é \(x \in (11, \infty)\), pois os argumentos dos logaritmos 
devem ser positivos e diferentes entre si. 
 
408. Problema: Calcule \(\lim_{x \to 11^+} \log_3(x - 2) - \log_3(x - 11)\). 
 Resposta: Como \(x\) se aproxima de \(11\) pelo lado direito, \((x - 11)\) se aproxima de 
\(0^+\), então o segundo logaritmo se torna \(-\infty\). Logo, o limite não existe. 
 
409. Problema: Resolva a inequação \(\log_2(x - 1) - \log_2(x - 11) > 1\). 
 Resposta: Aplicando a propriedade dos logaritmos, podemos escrever a inequação 
como \(\log_2\left(\frac{x - 1}{x - 11}\right) > 1\). Convertendo para forma exponencial,