Matematica todos os anos e idades-111

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165. Problema: Calcule a área da região delimitada pelas curvas \( y = \frac{1}{x} \) e \( y = 
\frac{1}{x^2} \) no intervalo \( [1, \infty] \). 
 Resposta: A área é \( \frac{1}{2} \) unidade quadrada. 
 Explicação: Calculamos a integral da função que representa a diferença entre as duas 
curvas no intervalo dado. 
 
166. Problema: Determine a derivada de \( f(x) = e^x \sin(x) \). 
 Resposta: \( f'(x) = e^x(\sin(x) + \cos(x)) \). 
 Explicação: Utilizamos a regra do produto para derivar esta função exponencial e 
trigonométrica composta. 
 
167. Problema: Encontre a integral indefinida de \( f(x) = \frac{\sin(x)}{\cos^2(x)} \). 
 Resposta: A integral é \( F(x) = -\frac{1}{\cos(x)} + C \). 
 Explicação: Utilizamos uma substituição trigonométrica para resolver esta integral. 
 
168. Problema: Resolva a equação diferencial \( \frac{dy}{dx} = e^{2x} \sin(3x) \). 
 Resposta: Não tem solução em termos de funções elementares. 
 Explicação: Esta equação diferencial não pode ser resolvida usando métodos usuais de 
cálculo. 
 
169. Problema: Determine o valor de \( \log_2(32) \). 
 Resposta: \( \log_2(32) = 5 \). 
 Explicação: O logaritmo de 32 na base 2 é 5, pois \( 2^5 = 32 \). 
 
170. Problema: Calcule a área da região delimitada pelas curvas \( y = e^x \) e \( y = \sin(x) 
\) no intervalo \( [0, \frac{\pi}{2}] \). 
 Resposta: A área é aproximadamente 1,696 unidades quadradas. 
 Explicação: Calculamos a integral da função que representa a diferença entre as duas 
curvas no intervalo dado. 
 
171. Problema: Determine a derivada de \( f(x) = \cos(x) \sin^2(x) \). 
 Resposta: \( f'(x) = \sin^2(x)(\cos(x) - 2\sin(x)\cos(x)) \). 
 Explicação: Utilizamos a regra do produto para derivar esta função trigonométrica 
composta.