Cálculo: Derivadas e Integrais

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240. Problema: Determine a derivada de \( f(x) = \ln(\cos(x)) \). 
 Resposta: \( f'(x) = -\tan(x) \). 
 Explicação: Utilizamos a regra do inverso para derivar esta função logarítmica. 
 
241. Problema: Encontre a integral indefinida de \( \int \sin(x)\cos(x) \, dx \). 
 Resposta: A integral é \( \frac{1}{2}\sin^2(x) + C \). 
 Explicação: Utilizamos a regra do produto para resolver esta integral. 
 
242. Problema: Resolva a equação diferencial \( \frac{dy}{dx} = \sin(x)\cos(x) \). 
 Resposta: A solução é \( y = \frac{1}{2}\sin^2(x) + C \), onde \( C \) é uma constante. 
 Explicação: Integramos ambos os lados da equação diferencial para encontrar a função 
\( y \). 
 
243. Problema: Determine o valor de \( \log_{10}(1000) \). 
 Resposta: \( \log_{10}(1000) = 3 \). 
 Explicação: O logaritmo de 1000 na base 10 é 3, pois \( 10^3 = 1000 \). 
 
244. Problema: Calcule a área da região delimitada pelas curvas \( y = \frac{1}{x} \) e \( y = 
\frac{1}{x^2} \) no intervalo \( [1, \infty] \). 
 Resposta: A área é \( \frac{1}{2} \) unidade quadrada. 
 Explicação: Calculamos a integral da função que representa a diferença entre as duas 
curvas no intervalo dado. 
 
245. Problema: Determine a derivada de \( f(x) = e^x \sin(x) \). 
 Resposta: \( f'(x) = e^x(\sin(x) + \cos(x)) \). 
 Explicação: Utilizamos a regra do produto para derivar esta função exponencial e 
trigonométrica composta. 
 
246. Problema: Encontre a integral indefinida de \( \int \frac{\sin(x)}{\cos^2(x)} \, dx \). 
 Resposta: A integral é \( -\frac{1}{\cos(x)} + C \). 
 Explicação: Utilizamos uma substituição trigonométrica para resolver esta integral.