Problemas de Cálculo e Álgebra

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235. Problema: Calcule a área da região delimitada pelas curvas \( y = \sin(x) \) e \( y = 
\cos(x) \) no intervalo \( [0, \pi/4] \). 
 Resposta: A área é \( \sqrt{2} - 1 \). Explicação: Calculamos a integral da diferença entre 
as duas funções no intervalo de interseção. 
 
236. Problema: Determine a solução da equação diferencial \( y' + 4xy = 2 \). 
 Resposta: A solução é \( y(x) = \frac{1}{2} - \frac{1}{2}e^{x^2} \). Explicação: Usamos o 
método da solução particular mais a solução geral da equação homogênea. 
 
237. Problema: Encontre a derivada de \( f(x) = 
 
 \sin^3(x) \). 
 Resposta: A derivada é \( f'(x) = 3\sin^2(x)\cos(x) \). Explicação: Aplicamos a regra da 
cadeia e a derivada do seno. 
 
238. Problema: Calcule o valor de \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin(x) - x}{x^3} \). 
 Resposta: O limite é \( 1/6 \). Explicação: Utilizamos a expansão de Taylor para \( \sin(x) 
\) em torno de \( x = 0 \). 
 
239. Problema: Resolva a equação \( 9^x = 81 \) para \( x \). 
 Resposta: A solução é \( x = 2/3 \). Explicação: Aplicamos a função inversa do logaritmo 
natural para encontrar o valor de \( x \). 
 
240. Problema: Determine o valor de \( \lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{4x^2 + 1}}{2x} \). 
 Resposta: O limite é \( 1 \). Explicação: Dividimos o numerador e o denominador por \( x 
\) e aplicamos a propriedade do limite. 
 
241. Problema: Encontre a solução geral da equação diferencial \( y'' + 8y' + 16y = 0 \). 
 Resposta: A solução geral é \( y(x) = (C_1 + C_2x)e^{-4x} \), onde \( C_1 \) e \( C_2 \) são 
constantes arbitrárias. Explicação: Utilizamos o método da solução geral para equações 
diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes. 
 
242. Problema: Determine o valor de \( \tan(\pi/4) \). 
 Resposta: \( \tan(\pi/4) = 1 \). Explicação: Usamos as propriedades do triângulo 
isósceles ou do círculo unitário.