Matematica todos os anos e idades-432

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243. Problema: Calcule a área da região delimitada pelas curvas \( y = e^x \) e \( y = \ln(x) \) 
no intervalo \( [1, e] \). 
 Resposta: A área é \( e - 1 \). Explicação: Calculamos a integral da diferença entre as 
duas funções no intervalo de interseção. 
 
244. Problema: Determine a solução da equação diferencial \( y' - 6xy = 0 \). 
 Resposta: A solução é \( y(x) = Ce^{3x^2} \), onde \( C \) é uma constante arbitrária. 
Explicação: Usamos o método da solução geral para equações diferenciais lineares de 
primeira ordem. 
 
245. Problema: Encontre a derivada de \( f(x) = \frac{1}{\cos(x)} \). 
 Resposta: A derivada é \( f'(x) = \frac{\sin(x)}{\cos^2(x)} \). Explicação: Aplicamos a regra 
do quociente e a derivada do cosseno. 
 
246. Problema: Calcule o valor de \( \lim_{x \to 0} \frac{\tan(x)}{x} \). 
 Resposta: O limite é \( 1 \). Explicação: Usamos a definição de \( \tan(x) \) em termos de 
sua série de Taylor centrada em \( x = 0 \). 
 
247. Problema: Resolva a equação \( \log_3(x) = 4 \) para \( x \). 
 Resposta: A solução é \( x = 81 \). Explicação: Usamos a definição de logaritmo para 
resolver a equação. 
 
248. Problema: Determine o valor de \( \lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{25x^2 + 1}}{5x} \). 
 Resposta: O limite é \( 1 \). Explicação: Dividimos o numerador e o denominador por \( x 
\) e aplicamos a propriedade do limite. 
 
249. Problema: Encontre a solução geral da equação diferencial \( y'' - 3y' + 2y = 0 \). 
 Resposta: A solução geral é \( y(x) = (C_1 + C_2x)e^x \), onde \( C_1 \) e \( C_2 \) são 
constantes arbitrárias. Explicação: Utilizamos o método da solução geral para equações 
diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes. 
 
250. Problema: Determine o valor de \( \sin(\pi/6) \). 
 Resposta: \( \sin(\pi/6) = 1/2 \). Explicação: Usamos as propriedades do triângulo 
equilátero ou do círculo unitário.