Problemas de Cálculo

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251. Problema: Calcule a área da região delimitada pelas curvas \( y = \ln(x) \) e \( y = 
\ln(2x) \) no intervalo \( [1, 2] \). 
 Resposta: A área é \( 1 - \frac{1}{2}\ln(2) \). Explicação: Calculamos a integral da 
diferença entre as duas funções no intervalo de interseção. 
 
252. Problema: Determine a solução da equação diferencial \( y' - 2xy = x \). 
 Resposta: A solução é \( y(x) = e^{x^2} + Ce^{x^2} \), onde \( C \) é uma constante 
arbitrária. Explicação: Usamos o método da solução particular mais a solução geral da 
equação homogênea. 
 
253. Problema: Encontre a derivada de \( f(x) = \frac{\sin(x)}{\sqrt{x}} \). 
 Resposta: A derivada é \( f'(x) = \frac{\cos(x)\sqrt{x} - \sin(x)}{2x^{3/2}} \). Explicação: 
Aplicamos a regra do quociente e a derivada do seno. 
 
254. Problema: Calcule o valor de \( \lim_{x \to 0} \frac{\tan(x)}{x} \). 
 Resposta: O limite é \( 1 \). Explicação: Usamos a definição de \( \tan(x) \) em termos de 
sua série de Taylor centrada em \( x = 0 \). 
 
255. Problema: Resolva a equação \( \log_5(x) = 3 \) para \( x \). 
 Resposta: A solução é \( x = 125 \). Explicação: Usamos a definição de logaritmo para 
resolver a 
 
 equação. 
 
256. Problema: Determine o valor de \( \lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{16x^2 - 9}}{4x} \). 
 Resposta: O limite é \( 1 \). Explicação: Dividimos o numerador e o denominador por \( x 
\) e aplicamos a propriedade do limite. 
 
257. Problema: Encontre a solução geral da equação diferencial \( y'' + 10y' + 25y = 0 \). 
 Resposta: A solução geral é \( y(x) = (C_1 + C_2x)e^{-5x} \), onde \( C_1 \) e \( C_2 \) são 
constantes arbitrárias. Explicação: Utilizamos o método da solução geral para equações 
diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes. 
 
258. Problema: Determine o valor de \( \sin(\pi/2) \).