matematica todos-146

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Resposta: A derivada de \( h(x) \) é \( h'(x) = e^x \cdot \frac{1}{x} + e^x \cdot \ln(x) \). 
Explicação: Usamos o produto de derivadas e a regra do logaritmo. 
 
7. Problema: Encontre a área da região limitada pelas curvas \( y = x^2 \) e \( y = 2x - 1 \). 
 Resposta: A área é \( \frac{7}{6} \) unidades quadradas. Explicação: Calculamos as 
interseções das curvas e integramos a diferença das funções entre esses limites. 
 
8. Problema: Resolva a equação \( \frac{dy}{dx} = \frac{1}{x^2} \). 
 Resposta: A solução é \( y = -\frac{1}{x} + C \), onde \( C \) é uma constante arbitrária. 
Explicação: Integramos ambos os lados em relação a \( x \) e adicionamos uma constante 
de integração. 
 
9. Problema: Encontre a derivada segunda de \( f(x) = \frac{1}{x^3} \). 
 Resposta: A segunda derivada de \( f(x) \) é \( f''(x) = \frac{-6}{x^4} \). Explicação: 
Aplicamos a regra do quociente duas vezes para encontrar a segunda derivada. 
 
10. Problema: Determine a soma dos termos da série geométrica infinita \( 
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{2^n} \). 
 Resposta: A soma é \( 2 \). Explicação: Utilizamos a fórmula da soma de uma série 
geométrica infinita. 
 
11. Problema: Calcule a derivada de \( f(x) = \sqrt{x^3} \). 
 Resposta: A derivada de \( f(x) \) é \( f'(x) = \frac{3}{2}x^{\frac{1}{2}} \). Explicação: 
Aplicamos a regra da potência e a regra da cadeia. 
 
12. Problema: Encontre a integral indefinida de \( \int x^2 \sin(x) \, dx \). 
 Resposta: A integral indefinida é \( -x^2 \cos(x) + 2x \sin(x) + 2 \cos(x) + C \), onde \( C \) é 
uma constante arbitrária. Explicação: Utilizamos integração por partes. 
 
13. Problema: Resolva a equação diferencial \( y'' - y' - 2y = 0 \). 
 Resposta: A solução é \( y = C_1 e^{2x} + C_2 e^{-x} \), onde \( C_1 \) e \( C_2 \) são 
constantes arbitrárias. Explicação: Resolvemos a equação característica e aplicamos o 
princípio da superposição. 
 
14. Problema: Determine o limite \( \lim_{x \to \infty} \frac{3x^2 - 2x + 1}{4x^2 + 5x - 3} \).