matematica todos-156

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87. Problema: Calcule a derivada de \( f(x) = \ln(\cosh(x)) \). 
 Resposta: A derivada de \( f(x) \) é \( f'(x) = \frac{\tanh(x)}{\cosh(x)} \). Explicação: 
Utilizamos a regra do logaritmo natural. 
 
88. Problema: Encontre a área da região delimitada pelas curvas \( y = \sin^2(x) \) e \( y = 
\cos^2(x) \) no intervalo \( [0, \pi/4] \). 
 Resposta: A área é \( \frac{\pi}{4} - \frac{1}{2} \) unidades quadradas. Explicação: 
Calculamos as interseções das curvas e integramos a diferença das funções entre esses 
limites. 
 
89. Problema: Resolva a equação diferencial \( y' - 3y = x^2 \). 
 Resposta: A solução é \( y = Ce^{3x} - \frac{x^2}{3} - \frac{2x}{9} - \frac{2}{27} \), onde \( C 
\) é uma constante arbitrária. Explicação: Utilizamos o método da solução particular. 
 
90. Problema: Determine o limite \( \lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 + x)}{x^2} \). 
 Resposta: 
 
 O limite é \( \infty \). Explicação: Utilizamos a definição do logaritmo natural. 
 
91. Problema: Calcule a derivada de \( f(x) = \arctan(\sqrt{x}) \). 
 Resposta: A derivada de \( f(x) \) é \( f'(x) = \frac{1}{2x\sqrt{x} + 2\sqrt{x}} \). Explicação: 
Utilizamos a definição da tangente inversa. 
 
92. Problema: Encontre a integral indefinida de \( \int \frac{1}{x^2 - 3x + 2} \, dx \). 
 Resposta: A integral indefinida é \( -\ln|x - 1| + \ln|x - 2| + C \), onde \( C \) é uma 
constante arbitrária. Explicação: Utilizamos decomposição em frações parciais. 
 
93. Problema: Resolva a equação diferencial \( y'' + 2y' + y = x^2e^{-x} \). 
 Resposta: A solução é \( y = (C_1 + C_2x)e^{-x} - x^2 - 2x - 2 \), onde \( C_1 \) e \( C_2 \) 
são constantes arbitrárias. Explicação: Utilizamos o método da solução particular. 
 
94. Problema: Determine o limite \( \lim_{x \to \infty} \frac{\tan(x)}{x} \). 
 Resposta: O limite não existe. Explicação: Os limites do seno e cosseno divergem 
quando \( x \) se aproxima de \( \pi/2 \).