Derivadas com Regra da Cadeia

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67. Problema: Calcule a derivada de \( f(x) = e^{\frac{\ln(x)}{x}} \). 
 Resposta: \( f'(x) = e^{\frac{\ln(x)}{x}}\left(\frac{1 - \ln(x)}{x^2}\right) \). 
 Explicação: Utilizamos a regra da cadeia para derivar a função exponencial. 
 
68. Problema: Encontre a derivada de \( g(x) = \sqrt{e^{\sin(x)}} \). 
 Resposta: \( g'(x) = \frac{\cos(x)e^{\sin(x)/2}}{2\sqrt{e^{\sin(x)}}} \). 
 Explicação: Utilizamos a regra da cadeia para derivar a função raiz. 
 
69. Problema: Determine a derivada de \( h(x) = \ln(\sqrt{\ln(x)}) \). 
 Resposta: \( h'(x) = \frac{1}{2x\ln(x)} \). 
 Explicação: Utilizamos a regra da cadeia para derivar a função logarítmica. 
 
70. Problema: Calcule a derivada de \( f(x) = e^{\cos(\ln(x))} \). 
 Resposta: \( f'(x) = -\sin(\ln(x))\frac{1}{x}e^{\cos(\ln(x))} \). 
 Explicação: Utilizamos a regra da cadeia para derivar a função exponencial. 
 
71. Problema: Encontre a derivada de \( g(x) = \sqrt{\ln(e^x + e^{-x})} \). 
 Resposta: \( g'(x) = \frac{e^x - e^{-x}}{2\sqrt{\ln(e^x + e^{-x})}(e^x + e^{-x})} \). 
 Explicação: Utilizamos a regra da cadeia para derivar a função raiz. 
 
72. Problema: Determine a derivada de \( h(x) = \ln(e^{\sin(x)} + 1) \). 
 Resposta: \( h'(x) = \frac{\cos(x)e^{\sin(x)}}{e^{\sin(x)} + 1} \). 
 Explicação: Utilizamos a regra da cadeia para derivar a função logarítmica. 
 
73. Problema: Calcule a derivada de \( f(x) = e^{\ln(\sin(x) + 1)} \). 
 Resposta: \( f'(x) = \frac{\cos(x)e^{\ln(\sin(x) + 1)}}{\sin(x) + 1} \). 
 Explicação: Utilizamos a regra da cadeia para derivar a função exponencial. 
 
74. Problema: Encontre a derivada de \( g(x) = \sqrt{\ln(\sin(x) + 1)} \). 
 Resposta: \( g'(x) = \frac{\cos(x)}{2\sqrt{\ln(\sin(x) + 1)\sin(x) + 1}} \).