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ÊNIO SILVEIRA MATEMÁTICA COMPREENSÃO E PRÁTICA Componente curricular: MATEMÁTICA o8ano COMPREENSÃO E PRÁTICAMANUAL DO PROFESSOR MANUAL DO PROFESSOR 5a edição São Paulo, 2018 Componente curricular: MATEMÁTICA MATEMÁTICA COMPREENSÃO E PRÁTICA ÊNIO SILVEIRA Engenheiro mecânico pela Universidade Federal do Ceará. Engenheiro eletricista pela Universidade de Fortaleza. Diretor de escola particular. Autor de obras didáticas de Matemática. o ano8 Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP) (Câmara Brasileira do Livro, SP, Brasil) Silveira, Ênio Matemática : compreensão e prática / Ênio Silveira. – 5. ed. – São Paulo : Moderna, 2018. Obra em 4 v. para alunos do 6o ao 9o ano. Componente curricular: Matemática. Bibliogra�a. 1. Matemática (Ensino fundamental) I. Título. 18-16948 CDD-372.7 Índices para catálogo sistemático: 1. Matemática : Ensino fundamental 372.7 Maria Alice Ferreira – Bibliotecária – CRB-8/7964 1 3 5 7 9 10 8 6 4 2 Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998. Todos os direitos reservados EDITORA MODERNA LTDA. Rua Padre Adelino, 758 – Belenzinho São Paulo – SP – Brasil – CEP 03303-904 Vendas e Atendimento: Tel. (0_ _11) 2602-5510 Fax (0_ _11) 2790-1501 www.moderna.com.br 2018 Impresso no Brasil Coordenação editorial: Fabio Martins de Leonardo Edição de texto: Ana Paula Souza Nani, Daniel Vitor Casartelli Santos, Maria José Guimarães de Souza, Marilu Maranho Tassetto, Romenig da Silva Ribeiro Assistência editorial: Jeferson Felix da Silva, Larissa Calazans Nicoletti Mesquita Preparação de texto: Mariane Genaro Gerência de design e produção grá�ca: Everson de Paula Coordenação de produção: Patricia Costa Suporte administrativo editorial: Maria de Lourdes Rodrigues Coordenação de design e projetos visuais: Marta Cerqueira Leite Projeto grá�co: Mariza de Souza Porto Capa: Bruno Tonel, Douglas Rodrigues José, Mariza de Souza Porto Foto: DKart/Getty Images Coordenação de arte: Wilson Gazzoni Agostinho Edição de arte: Elaine Cristina da Silva Editoração eletrônica: Teclas Editorial Edição de infogra�a: Luiz Iria, Priscilla Boffo, Otávio Cohen Ilustrações de vinhetas: Shutterstock Coordenação de revisão: Maristela S. Carrasco Revisão: Ana Cortazzo, Ana Maria C. Tavares, Cárita Negromonte, Cecilia Oku, Fernanda Marcelino, Know-how Editorial Ltda., Mônica Surrage, Renato da Rocha, Rita de Cássia Sam, Simone Garcia, Thiago Dias, Vânia Bruno, Viviane Oshima Coordenação de pesquisa iconográ�ca: Luciano Baneza Gabarron Pesquisa iconográ�ca: Carol Bock, Maria Marques, Mariana Alencar Coordenação de bureau: Rubens M. Rodrigues Tratamento de imagens: Fernando Bertolo, Joel Aparecido, Luiz Carlos Costa, Marina M. Buzzinaro Pré-impressão: Alexandre Petreca, Everton L. de Oliveira, Marcio H. Kamoto, Vitória Sousa Coordenação de produção industrial: Wendell Monteiro Impressão e acabamento: Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP) (Câmara Brasileira do Livro, SP, Brasil) Silveira, Ênio Matemática : compreensão e prática : manual do professor / Ênio Silveira. – 5. ed. – São Paulo : Moderna, 2018. Obra em 4 v. do 6o ao 9o ano. Componente curricular: Matemática. Bibliogra�a. 1. Matemática (Ensino fundamental) I. Título. 18-16950 CDD-372.7 Índices para catálogo sistemático: 1. Matemática : Ensino fundamental 372.7 Maria Alice Ferreira – Bibliotecária – CRB-8/7964 1 3 5 7 9 10 8 6 4 2 Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998. Todos os direitos reservados EDITORA MODERNA LTDA. Rua Padre Adelino, 758 – Belenzinho São Paulo – SP – Brasil – CEP 03303-904 Vendas e Atendimento: Tel. (0_ _11) 2602-5510 Fax (0_ _11) 2790-1501 www.moderna.com.br 2018 Impresso no Brasil Coordenação editorial: Fabio Martins de Leonardo Edição de texto: Ana Paula Souza Nani, Daniel Vitor Casartelli Santos, Daniela Santo Ambrosio, Maria Cecília da Silva Veridiano, Maria José Guimarães de Souza, Marilu Maranho Tassetto, Renata Martins Fortes Gonçalves, Romenig da Silva Ribeiro Assistência editorial: Alexandre da Silva Sanchez, Jeferson Felix da Silva, Larissa Calazans Nicoletti Mesquita Preparação de texto: Mariane Genaro Gerência de design e produção grá�ca: Everson de Paula Coordenação de produção: Patricia Costa Suporte administrativo editorial: Maria de Lourdes Rodrigues Coordenação de design e projetos visuais: Marta Cerqueira Leite Projeto grá�co: Mariza de Souza Porto Capa: Bruno Tonel, Douglas Rodrigues José, Mariza de Souza Porto Foto: Mariusz Szczygiel/Shutterstock Coordenação de arte: Wilson Gazzoni Agostinho Edição de arte: Elaine Cristina da Silva, Eliazar Alves Cavalcanti Junior, Paula de Sá Belluomini Editoração eletrônica: MRS Editorial Ilustrações de vinhetas: Shutterstock Coordenação de revisão: Maristela S. Carrasco Revisão: Know-how Editorial Ltda. Coordenação de pesquisa iconográ�ca: Luciano Baneza Gabarron Pesquisa iconográ�ca: Carol Bock, Maria Marques, Mariana Alencar Coordenação de bureau: Rubens M. Rodrigues Tratamento de imagens: Fernando Bertolo, Joel Aparecido, Luiz Carlos Costa, Marina M. Buzzinaro Pré-impressão: Alexandre Petreca, Everton L. de Oliveira, Marcio H. Kamoto, Vitória Sousa Coordenação de produção industrial: Wendell Monteiro Impressão e acabamento: III Sumário Orientações gerais • Apresentação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IV • Objetivos gerais da coleção . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . V • Organização da coleção . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VI • Matemática escolar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VIII • Apresentação da proposta didática e distribuição dos conteúdos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IX • Quadros de objetos de conhecimento e habilidades do 8o ano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XI • Unidades temáticas de Matemática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XVI • O trabalho interdisciplinar na escola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XVIII • A utilização da história da Matemática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XIX • As tecnologias e a aprendizagem da Matemática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XIX • O papel do erro na aprendizagem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XX • Avaliação de aprendizagem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XXI • Formação do professor — Sugestões de leitura e sites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XXII Orientações para o desenvolvimento das unidades Unidade I ........................................................................................................................................................................................................................................................................................ 9 Capítulo 1 Conjuntos numéricos ........................................................................................................................................................................................10 Capítulo 2 Potenciação e radiciação ............................................................................................................................................................................ 31 Capítulo 3 Sistemas de equações do 1o grau .................................................................................................................................................47 Unidade II ...................................................................................................................................................................................................................................................................................69 Capítulo 4 Ângulos e transformações geométricas ............................................................................................................................70 Capítulo 5 Polígonos ......................................................................................................................................................................................................................... 98 Capítulo 6 Probabilidade ......................................................................................................................................................................................................... 112 Unidade III .............................................................................................................................................................................................................................................................................127 Capítulo 7 Triângulos e quadriláteros ..................................................................................................................................................................128 Capítulo 8 Área, volume e capacidade ................................................................................................................................................................156 Capítulo 9 Equações do 2o grau ..................................................................................................................................................................................... 171 Unidade IV ........................................................................................................................................................................................................................................................................... 187 Capítulo 10 Grandezas e proporcionalidade ................................................................................................................................................. 188 Capítulo 11 Medidas de tendência central e pesquisa estatística ............................................................................... 203 Capítulo 12 Gráficos estatísticos ....................................................................................................................................................................................219 IV Orientações gerais APRESENTAÇÃO Esta coleção tem como objetivo principal servir de apoio didático para suas aulas. No Manual do Pro- fessor, você encontra algumas reflexões sobre o processo de ensino e de aprendizagem da Matemática nos Anos Finais do Ensino Fundamental. Observe que falamos "de ensino e de aprendizagem” separadamente, pois entendemos que são processos que se articulam, mas são distintos: processo de ensino + processo de aprendizagem. Na escola, buscamos sempre que esses dois processos andem juntos, completem-se, e esse pressuposto guia a organização desta coleção. Lembramos você, professor, que a escolha do livro didático deve ser feita sempre a partir do conhecimento de sua realidade escolar. E, já que escolheu trabalhar com esta coleção, queremos ajudá-lo a atingir seus objetivos didáticos, valorizando sua autonomia didática na organização e gestão de suas aulas. Esta coleção foi reformulada para atender os requisitos da Base Nacional Comum Curricular (BNCC), abrangendo o desenvolvimento das habilidades tanto nos conteúdos quanto nas atividades e seções complementares. Assim, neste Manual, propomos orientações e ferramentas que visam ajudar no trabalho diário. Tratamos do uso de calculadoras e softwares, mas também do uso de materiais concretos, sempre no intuito de enriquecer a gama de materiais didáticos disponíveis. Procuramos também articular os objetivos gerais da aprendizagem com a ideia de avaliação e os possíveis instrumentos a serem utilizados. Além disso, apresentamos sugestões de leituras que permitirão a você, professor, aprofundar-se em suas reflexões. O professor é o grande mediador na relação entre o aluno e a Matemática escolar: ele planeja, organiza, elabora as situações de aprendizagem e faz a gestão do trabalho, sempre buscando que seus alunos adquiram conhecimentos para serem aplicados em situações presentes e futuras, tanto no âmbito escolar como em sua vida fora dos muros da escola. Não podemos esquecer que o objetivo da aprendizagem escolar é a formação humana integral e que, por esse motivo, é necessário levar em consideração a vida pessoal e a futura vida profissional dos alunos. Nesse sentido, Ferreira (2006)1 defende que a escola deve promover o desenvolvimento humano, conectando todos os conhecimentos, sejam de ordem cotidiana, sejam de ordem científica. Para construir este Manual do Professor, baseamo-nos nos princípios da Educação Matemática, área que estuda os processos de ensino e de aprendizagem da Matemática, ou seja, partimos da compreensão de que a Matemática feita pelos matemáticos é diferente da matemática a ser trabalhada na escola. Segundo Fiorentini e Lorenzato (2012)2, os estudos feitos no campo da Educação Matemática têm como perspectiva “o desenvolvimento de conhecimentos e práticas pedagógicas que contribuam para uma formação mais integral, humana e crítica do aluno e do professor” (p. 4). Nesse sentido, esta coleção visa tal formação e considera que não se pode confundir a aplicação de algoritmos com o fazer mate- mático, pois a Matemática vai muito além. Assim, apresentamos a Matemática escolar de forma que o aluno possa desenvolver as habilidades preconizadas pela BNCC e, por meio delas, aprender a pensar matematicamente, resolver problemas diversos e concluir essa etapa da Educação Básica preparado para continuar seus estudos. 1 FERREIRA, L. R. Matemática escolar: conceitos do cotidiano na vida profissional. ZETETIKÉ, v. 14, n. 26, jul./dez. FE/Unicamp, 2006. 2 FIORENTINI, D.; LORENZATO, S. Investigação em Educação Matemática: percursos teóricos e metodológicos. 3. ed. Campinas: Editores Associados, 2009. V OBJETIVOS GERAIS DA COLEÇÃO Ao escolher e organizar os conteúdos a serem abordados ao longo dos quatro anos desse ciclo es- colar, tivemos a preocupação de proporcionar aos alunos as melhores condições para a construção dos conhecimentos matemáticos esperados para essa faixa de escolaridade. Pautamo-nos nos objetivos, nas competênciasgerais e específicas e nas habilidades estabelecidos pela Base Nacional Comum Curricular. Destacamos que, de acordo com a BNCC: É imprescindível destacar que as competências gerais da BNCC, apresentadas a seguir, inter-relacionam-se e desdobram-se no tratamento didático proposto para as três etapas da Educação Básica (Educação Infantil, Ensino Fundamental e Ensino Médio), articulando-se na construção de conhecimentos, no desenvolvimento de habilidades e na formação de atitudes e valores. Competências gerais da Base Nacional Comum Curricular 1. Valorizar e utilizar os conhecimentos historicamente construídos sobre o mundo físico, social, cultural e digital para entender e explicar a realidade, continuar aprendendo e colaborar para a construção de uma sociedade justa, democrática e inclusiva. 2. Exercitar a curiosidade intelectual e recorrer à abordagem própria das ciências, incluindo a investigação, a reflexão, a análise crítica, a imaginação e a criatividade, para investigar causas, elaborar e testar hipóteses, formular e resolver problemas e criar soluções (inclusive tecnológicas) com base nos conhecimentos das diferentes áreas. 3. Valorizar e fruir as diversas manifestações artísticas e culturais, das locais às mundiais, e também participar de práticas diversificadas da produção artístico-cultural. 4. Utilizar diferentes linguagens ‒ verbal (oral ou visual-motora, como Libras, e escrita), corporal, visual, sonora e digital ‒, bem como conhecimentos das linguagens artística, matemática e científica, para se expressar e partilhar informações, experiências, ideias e sentimentos em diferentes contextos e produzir sentidos que levem ao entendimento mútuo. 5. Compreender, utilizar e criar tecnologias digitais de informação e comunicação de forma crítica, significativa, reflexiva e ética nas diversas práticas sociais (incluindo as escolares) para se comunicar, acessar e disseminar informações, produzir conhecimentos, resolver problemas e exercer protagonismo e autoria na vida pessoal e coletiva. 6. Valorizar a diversidade de saberes e vivências culturais e apropriar-se de conhecimentos e experiên cias que lhe possibilitem entender as relações próprias do mundo do trabalho e fazer escolhas alinhadas ao exercício da cidadania e ao seu projeto de vida, com liberdade, autonomia, consciência crítica e responsabilidade. 7. Argumentar com base em fatos, dados e informações confiáveis, para formular, negociar e defender ideias, pontos de vista e decisões comuns que respeitem e promovam os direitos humanos, a consciência socioambiental e o consumo responsável em âmbito local, regional e global, com posicionamento ético em relação ao cuidado de si mesmo, dos outros e do planeta. 8. Conhecer-se, apreciar-se e cuidar de sua saúde física e emocional, compreendendo-se na diversidade humana e reconhecendo suas emoções e as dos outros, com autocrítica e capacidade para lidar com elas. 9. Exercitar a empatia, o diálogo, a resolução de conflitos e a cooperação, fazendo-se respeitar e promovendo o respeito ao outro e aos direitos humanos, com acolhimento e valorização da diversidade de indivíduos e de grupos sociais, seus saberes, identidades, culturas e potencialidades, sem preconceitos de qualquer natureza. 10. Agir pessoal e coletivamente com autonomia, responsabilidade, flexibilidade, resiliência e determinação, tomando decisões com base em princípios éticos, democráticos, inclusivos, sustentáveis e solidários. VI Além das competências gerais para todas as áreas, a BNCC estabelece as competências específicas para cada área do conhecimento. As de Matemática são: 1. Reconhecer que a Matemática é uma ciência humana, fruto das necessidades e preocupações de diferentes culturas, em diferentes momentos históricos, e é uma ciência viva, que contribui para solucionar problemas científicos e tecnológicos e para alicerçar descobertas e construções, inclusive com impactos no mundo do trabalho. 2. Desenvolver o raciocínio lógico, o espírito de investigação e a capacidade de produzir ar- gumentos convincentes, recorrendo aos conhecimentos matemáticos para compreender e atuar no mundo. 3. Compreender as relações entre conceitos e procedimentos dos diferentes campos da Matemática (Aritmética, Álgebra, Geometria, Estatística e Probabilidade) e de outras áreas do conhecimento, sentindo segurança quanto à própria capacidade de construir e aplicar conhecimentos matemáticos, desenvolvendo a autoestima e a perseverança na busca de soluções. 4. Fazer observações sistemáticas de aspectos quantitativos e qualitativos presentes nas práticas sociais e culturais, de modo a investigar, organizar, representar e comu- nicar informações relevantes, para interpretá-las e avaliá-las crítica e eticamente, produzindo argumentos convincentes. 5. Utilizar processos e ferramentas matemáticas, inclusive tecnologias digitais disponíveis, para modelar e resolver problemas cotidianos, sociais e de outras áreas de conhecimento, validando estratégias e resultados. 6. Enfrentar situações-problema em múltiplos contextos, incluindo-se situações imaginadas, não diretamente relacionadas com o aspecto prático-utilitário, expressar suas respostas e sintetizar conclusões, utilizando diferentes registros e linguagens (gráficos, tabelas, esquemas, além de texto escrito na língua materna e outras linguagens para descrever algoritmos, como fluxogramas, e dados). 7. Desenvolver e/ou discutir projetos que abordem, sobretudo, questões de urgência social, com base em princípios éticos, democráticos, sustentáveis e solidários, valorizando a diversidade de opiniões de indivíduos e de grupos sociais, sem preconceitos de qualquer natureza. 8. Interagir com seus pares de forma cooperativa, trabalhando coletivamente no planejamento e desenvolvimento de pesquisas para responder a questionamentos e na busca de soluções para problemas, de modo a identificar aspectos consensuais ou não na discussão de uma determinada questão, respeitando o modo de pensar dos colegas e aprendendo com eles. Considerando as competências gerais e específicas da Matemática, as habilidades de Matemática para os Anos Finais do Ensino Fundamental, esperamos, com esta coleção e a parceria com o professor, promover a aprendizagem eficiente da Matemática e contribuir para a formação integral do aluno. ORGANIZAÇÃO DA COLEÇÃO Esta coleção é organizada em quatro volumes. Cada volume está dividido em quatro unidades compostas de dois ou mais capítulos. Cada unidade apresenta uma seção de abertura e uma seção de fechamento. A abertura de unidade apresenta a lista dos capítulos que a integram e propõe questões para instigar a curiosidade dos alunos para os assuntos que serão estudados na unidade. As questões não precisam ser respondidas em um primeiro momento, mas sugerimos retomá-las no final do estudo da unidade para que os alunos reflitam sobre o que aprenderam. A abertura de capítulo propõe a observação e a reflexão de uma situação relacionada ao conteúdo do capítulo por meio de uma imagem e das questões do “É hora de observar e refletir”. Em seguida, o capítulo apresenta a seção “Trocando ideias”. Essa seção foi criada para incentivar uma conversa entre os alunos sobre assuntos do capítulo, mobilizando seus conhecimentos. Sugerimos explorá-la oralmente; se você achar necessário, solicite que respondam às questões por escrito no caderno. A seção busca favorecer principalmente o desenvolvimento das competências gerais 8, 9 e 10 da BNCC. VII Esse primeiro contato com o conteúdo a ser trabalhado permite ao professor inserir atividades diversas a cada capítulo: pesquisas, jogos, entre outras opções. É também uma oportunidade para desencadear um debate com os alunos, visando identificar os conhecimentos prévios para que estes sejam o ponto de partida para a aquisição de novos saberes. Um exemplo é a abordagem das operações com números naturais: os alunos já possuem algum conhecimentoadquirido nos anos anteriores; retomá-los permite ao professor desenvolver um trabalho mais significativo para o aluno. Após a abertura de capítulo e a seção “Trocando ideias”, apresentamos os conteúdos, que são or- ganizados de forma que o aluno aprenda paulatinamente. Nos tópicos, são apresentados definições, propriedades, exemplos e situações que permitem maior detalhamento da exposição do conteúdo; em seguida, há atividades a serem resolvidas pelos alunos. Com diferentes níveis de dificuldade, as atividades estimulam a discussão, a reflexão e a resolução em grupo e o trabalho com o cálculo mental e promovem o uso da calculadora e de outras tecnologias, como planilha eletrônica e softwares de construção de gráficos e de geometria dinâmica. O uso de tecnologias é uma prerrogativa do professor e uma realidade no mundo de hoje. É importante que os alunos utilizem essas ferramentas para descobrir estratégias de resolução das atividades propostas distintas daquelas apresentadas na coleção. Valoriza-se, assim, também o desenvolvimento da criatividade e da autonomia, entre outras habilidades e competências. Ao longo do capítulo, também são apresentadas as seções “Lendo e aprendendo”, com o objetivo de enriquecer a aprendizagem, e “Um pouco de história”, que aborda a história da Matemática para contex- tualizar alguns assuntos. Os capítulos são finalizados com a seção “Trabalhando os conhecimentos adquiridos”, que tem como objetivo retomar os conceitos e os procedimentos vistos no capítulo, incentivando a revisão, a autoavaliação e a criatividade por meio da resolução e da elaboração de problemas. Essa seção é composta de atividades de diversos níveis de dificuldade, incluindo desafios e questões de exames e concursos, cuidadosamente escolhidas, para que os alunos as resolvam com base nos conhecimentos adquiridos até aquele momento. A seção é dividida em três grupos distintos de atividades: "Revisitando", "Aplicando" e "Elaborando". No “Revisitando”, os alunos têm a oportunidade de verificar os conhecimentos consolidados. Então, se eles tiverem alguma dúvida em relação aos conteúdos, sugira que retomem a explicação e as atividades apre- sentadas anteriormente no capítulo. Incentive-os a buscar a troca de conhecimento em grupo e, caso a dúvida persista, ajude-os a encontrar um bom caminho para a compreensão. O “Aplicando” traz desafios, questões de concursos e exames, e o “Elaborando” estimula a criatividade e a elaboração de questões pelos alunos, favorecendo principalmente o desenvolvimento das competências gerais 2, 4 e 10 e da competência específica de Matemática 5 da BNCC. Alguns capítulos apresentam a seção “Resolvendo em equipe”, que destaca as etapas selecionadas para encaminhar a resolução de problemas, as quais devem ser analisadas e discutidas com os alunos. Além de favorecer, sobretudo, o desenvolvimento das competências gerais 2, 4, 9 e 10 e das compe- tências específicas de Matemática 2, 3 e 5, a seção permite a transferência de estratégias de resolução para outros contextos e situações, servindo de base para a resolução das atividades do item “Aplicando” da seção “Trabalhando os conhecimentos adquiridos”, por exemplo. O trabalho em equipe é muito importante sob diversos pontos de vista: permite ao aluno aprender com os colegas, explicitar conhecimentos e dúvidas, facilitando a ação do professor, e validar o raciocínio construído por meio do diálogo com os demais colegas. Além disso, saber trabalhar em equipe é uma compe- tência exigida nas mais diversas profissões de diferentes áreas. Pensando nisso, ao final de cada unidade, encontra-se a seção “É hora de extrapolar”, que propõe um trabalho colaborativo explorando a pesquisa, a comunicação e a elaboração de um produto final (podcast, cartilha, exposição de painéis, pesquisa e relatório), que será compartilhado com a turma ou com a comunidade escolar. VIIIVIII Com a finalidade de organizar o trabalho, a seção é dividida em etapas que promovem: • o entendimento do contexto e dos objetivos do trabalho a ser realizado; • a pesquisa individual ou coletiva; • a elaboração, em grupo, do produto proposto; • a apresentação e exposição do produto; • a reflexão sobre a atuação do grupo e síntese do trabalho. As etapas de pesquisa e elaboração do produto podem ser feitas extraclasse. Será necessário que o professor verifique o perfil dos alunos e oriente-os com relação ao prazo, aos materiais e a outros aspec- tos necessários à realização do trabalho. A seção também favorece o desenvolvimento das competências gerais 2, 4, 7, 9 e 10 e das competências específicas de Matemática 2, 4, 5, 6, 7 e 8, procurando mobilizar conteúdos estudados nos capítulos que integram a unidade. Portanto, é recomendável trabalhar a seção depois de estudar os capítulos, mas, se o professor preferir trabalhar as etapas da seção à medida que os capítulos forem estudados, deverá atentar para os conhecimentos prévios necessários. Além do Material do Professor impresso, a coleção oferece o Material do Professor – Digital, que apresenta uma proposta para implementar as competências gerais, as competências específicas e as habilidades indicadas na BNCC para os Anos Finais do Ensino Fundamental. Entre outros recursos, esse material oferece ao professor um plano de desenvolvimento voltado à prática pedagógica da sala de aula, abordando atividades recorrentes, subsídios para a gestão da sala de aula, habilidades essenciais, indicações de outras fontes de pesquisa, como livros, sites e artigos científicos, para aprimorar a atuação do professor, entre outras sugestões. Apresenta, ainda, um projeto integrador para ser desenvolvido em quatro etapas, uma para cada bimestre, sequências didáticas com planos aula a aula, propostas de acompanhamento de aprendizagem bimestrais com gabarito comentado, grade de correção e fichas para acompanhamento de aprendizagem dos alunos. Além disso, há o material digital audiovisual, que favorece a compreensão do conteúdo. Ao longo das orientações específicas para o desenvolvimento das unidades, indicaremos a possibilidade de uso dos recursos do Material do Professor – Digital. MATEMÁTICA ESCOLAR Usualmente lemos ou escutamos frases como “aprender Matemática é importante para o desenvolvi- mento do raciocínio”, e outras com os mesmos pressupostos. Realmente, essa é uma verdade que, para ser compreendida, precisa ser bem analisada. Em sua pesquisa, Maciel (2009)3 comprova a importância da Matemática na formação do cidadão. A autora afirma: Desse estudo concluiu-se que o ensino da Matemática é um dos elementos fundamentais para a formação social e intelectual do aluno, fazendo deste um ser humano dotado de conhecimento, possuidor da capacidade de evoluir culturalmente, se tratando de um cidadão apto e preparado para lidar com as mudanças da sociedade. Assim sendo imprescindível o desenvolvimento da autonomia, da criticidade, da criatividade e da capacidade de argumentação, assim se comprovou a importância do ensino da Matemática como componente curricular. (p. 1) A Matemática escolar difere da Matemática acadêmica pelo grau de profundidade da abordagem: a Matemática feita pelos matemáticos tem características que não são adequadas às atividades para descoberta e aprendizagem. O conhecimento matemático passa, assim, por transformações que resul- tam em um conjunto de saberes escolares, acessíveis aos alunos. É o que Chevallard (1991)4 chama de transposição didática: toda transformação sofrida por um saber para que este se adapte a uma instituição (nesse caso, a escola). 3 MACIEL, M. V. A importância do ensino da Matemática na formação do cidadão. Revista da Graduação. EdiPUCRS, 2009. Disponível em: <http://revistaseletronicas.pucrs.br/ojs/index.php/graduacao/article/view/6058>. Acesso em: 21 ago. 2018. 4 CHEVALLARD, Y.; JOHSUA, M-A. La transposition didactique. Grenoble: La Pensée Sauvage-Éditions, 1991. http://revistaseletronicas.pucrs.br/ojs/index.php/graduacao/article/view/6058IXIX 6o ano Unidades Capítulos Habilidades I 1 Números naturais e sistemas de numeração EF06MA01 e EF06MA02 2 Operações com números naturais EF06MA03 e EF06MA12 3 Figuras geométricas espaciais EF06MA17 e EF06MA18 II 4 Igualdades e desigualdades EF06MA14 5 Múltiplos e divisores EF06MA04, EF06MA05 e EF06MA06 6 Frações EF06MA07, EF06MA09, EF06MA10 e EF06MA15 7 Números decimais EF06MA01, EF06MA08 e EF06MA11 III 8 Porcentagem EF06MA13 9 Figuras geométricas planas EF06MA18, EF06MA19, EF06MA20, EF06MA22, EF06MA25, EF06MA26 e EF06MA27 10 Ampliação e redução de figuras EF06MA16, EF06MA21 e EF06MA23 IV 11 Grandezas e medidas EF06MA24, EF06MA28 e EF06MA29 12 Probabilidade e estatística EF06MA30, EF06MA31, EF06MA32, EF06MA33 e EF06MA34 Tais transformações são demandadas e trabalhadas pelos que concebem currículos e propostas curriculares, pelas instituições de ensino, pelos autores de livros didáticos, pela sociedade, pelos pais etc. Os resultados são apresentados nas propostas curriculares, nos livros didáticos, e são trabalhados pelos professores em sala de aula, completando o ciclo de transformações: de saber científico a saber ensinado. Os conteúdos abordados nesta coleção encaixam-se nessa perspectiva: fazem parte do conjunto de conteúdos da Matemática escolar, da Matemática a ser aprendida pelos alunos durante sua escolaridade, sem perder de vista o saber de referência, ou seja, a Matemática em sua dimensão de saber científico. APRESENTAÇÃO DA PROPOSTA DIDÁTICA E DISTRIBUIÇÃO DOS CONTEÚDOS A Matemática trabalhada no Ensino Fundamental não tem um fim em si mesma; além de aprofundar e sistema- tizar aprendizagens anteriores, abre as portas para novas aprendizagens, considerando as diversas áreas do saber, contribuindo para o desenvolvimento intelectual do aluno. O conhecimento matemático é, assim, o objeto de estudo nas aulas de Matemática, para que possa ser a ferramenta de trabalho tanto na resolução de problemas matemáticos como na aquisição de novos conhecimentos oriundos tanto da ciência como do cotidiano. Nesta coleção, a seleção dos conteúdos foi feita nessa perspectiva, e as abordagens propostas pressupõem o desenvolvimento de atitudes adequadas à formação do aluno. Escolhemos abordar conceitos e procedimentos (seleção e abordagem) tanto para aprofundar e retomar os conhecimentos prévios dos alunos quanto para iniciar a aquisição de novos conhecimentos a serem consolidados em anos posteriores de escolaridade. O professor pode acrescentar atividades, questionamentos, de modo a atender às especificidades de seus alunos: o livro didático nunca pode ser uma amarra para o professor, mas deve ser um facilitador de seu trabalho. O Manual do Professor traz sugestões que o professor poderá ou não utilizar, sempre a partir do conhecimento de seus alunos e do currículo da escola. A busca é e será sempre por um aprendizado não mecanizado, que permite a construção de significados e, portanto, de articulações entre conteúdos, áreas da Matemática e de outras áreas do conhecimento. A distribuição do conteúdo desta coleção foi pensada com o intuito de favorecer o desenvolvimento das compe- tências e habilidades da BNCC, tomando como princípio a importância da formação cidadã e integral dos estudantes. Para isso, sugere-se que cada unidade, composta de dois ou mais capítulos, seja trabalhada ao longo de um bimestre. No entanto, o professor, sempre que achar necessário, deverá fazer adaptações para adequar a estrutura proposta na coleção à realidade de suas turmas. Os quadros a seguir apresentam uma visão geral sobre como as habilidades foram desenvolvidas em cada unidade, capítulo a capítulo, nos quatro volumes referentes aos Anos Finais do Ensino Fundamental. X 8o ano Unidades Capítulos Habilidades I 1 Conjuntos numéricos EF08MA04, EF08MA05 e EF08MA11 2 Potenciação e radiciação EF08MA01 e EF08MA02 3 Sistemas de equações do 1o grau EF08MA06, EF08MA07 e EF08MA08 II 4 Ângulos e transformações geométricas EF08MA15, EF08MA17 e EF08MA18 5 Polígonos EF08MA15 e EF08MA16 6 Probabilidade EF08MA03 e EF08MA22 III 7 Triângulos e quadriláteros EF08MA10 e EF08MA14 8 Área, volume e capacidade EF08MA06, EF08MA19, EF08MA20 e EF08MA21 9 Equações do 2o grau EF08MA06 e EF08MA09 IV 10 Grandezas e proporcionalidade EF08MA12 e EF08MA13 11 Medidas de tendência central e pesquisa estatística EF08MA25, EF08MA26 e EF08MA27 12 Gráficos estatísticos EF08MA23, EF08MA24 e EF08MA27 7o ano Unidades Capítulos Habilidades I 1 Números inteiros EF07MA03 e EF07MA04 2 Múltiplos e divisores EF07MA01 3 Retas e ângulos EF07MA23 II 4 Frações EF07MA05, EF07MA06, EF07MA07, EF07MA08 e EF07MA09 5 Números racionais EF07MA10, EF07MA11 e EF07MA12 6 Linguagem algébrica e regularidades EF07MA13, EF07MA14, EF07MA15, EF07MA16 e EF07MA18 III 7 Porcentagem e juro simples EF07MA02 8 Proporcionalidade EF07MA09, EF07MA13 e EF07MA17 9 Transformações geométricas EF07MA19, EF07MA20 e EF07MA21 IV 10 Grandezas e medidas EF07MA29, EF07MA30, EF07MA31 e EF07MA32 11 Figuras geométricas planas EF07MA22, EF07MA24, EF07MA25, EF07MA26, EF07MA27, EF07MA28 e EF07MA33 12 Probabilidade e estatística EF07MA34, EF07MA35, EF07MA36 e EF07MA37 XI 9o ano Unidades Capítulos Habilidades I 1 Potenciação e radiciação com números reais EF09MA01, EF09MA02, EF09MA03, EF09MA04 e EF09MA18 2 Matemática financeira EF09MA05 3 Segmentos proporcionais e semelhança EF09MA10, EF09MA12 e EF09MA14 II 4 Fatoração e equações do 2o grau EF09MA09 5 Função afim EF09MA06, EF09MA07 e EF09MA08 6 Função quadrática EF09MA06 III 7 Relações métricas no triângulo retângulo EF09MA13, EF09MA14 e EF09MA16 8 Circunferência, arcos e ângulos EF09MA11 9 Polígonos regulares EF09MA15 IV 10 Vistas ortogonais e volumes EF09MA17 e EF09MA19 11 Construção de gráficos estatísticos EF09MA21 e EF09MA22 12 Probabilidade e estatística EF09MA20 e EF09MA23 QUADROS DE OBJETOS DE CONHECIMENTO E HABILIDADES DO 8o ANO Na sequência, focamos o quadro do 8o ano, estabelecendo relações entre alguns objetos de conhecimento trabalhados nesse ano com objetos de anos anteriores ou posteriores, indicados após cada quadro de cada unidade, por meio de números. As competências serão indicadas ao longo das orientações específicas para o desenvolvimento das unidades, assim como as sugestões de trabalho interdisciplinar, de leitura, de vídeo, de atividade extra etc. Unidade I (1o bimestre) Capítulos Unidades temáticas da BNCC Objetos de conhecimento da BNCC correlacionados Habilidades da BNCC cujo desenvolvimento é favorecido 1 Conjuntos numéricos Números Porcentagens. (1) (EF08MA04) Resolver e elaborar problemas, envolvendo cálculo de porcentagens, incluindo o uso de tecnologias digitais. Dízimas periódicas: fração geratriz. (2) (EF08MA05) Reconhecer e utilizar procedimen- tos para a obtenção de uma fração geratriz para uma dízima periódica. Álgebra Sequências recursivas e não recur- sivas. (3) (EF08MA11) Identificar a regularidade de uma sequência numérica recursiva e construir um al- goritmo por meio de um fluxograma que permita indicar os números seguintes. XII Unidade I (1o bimestre) Capítulos Unidades temáticas da BNCC Objetos de conhecimento da BNCC correlacionados Habilidades da BNCC cujo desenvolvimento é favorecido 2 Potenciação e radiciação Números Notação científica. (4) (EF08MA01) Efetuar cálculos com potências de expoentes inteiros e aplicar esse conhecimento na representação de números em notação científica. Potenciação e radiciação. (5) (EF08MA02) Resolver e elaborar problemas usan- do a relação entre potenciação e radiciação, para representar uma raiz como potência de expoente fracionário. 3 Sistemas de equações do 1o grau Álgebra Valor numérico de expressões algé- bricas. (6) (EF08MA06) Resolver e elaborar problemas que envolvam cálculo do valor numérico de expressões algébricas, utilizando as propriedades das operações. Associação de uma equação linear de 1o grau a uma reta no planocar- tesiano. (7) (EF08MA07) Associar uma equação linear de 1o grau com duas incógnitas a uma reta no plano cartesiano. Sistema de equações polinomiais de 1o grau: resolução algébrica e repre- sentação no plano cartesiano. (8) (EF08MA08) Resolver e elaborar problemas re- lacionados ao seu contexto próximo, que possam ser representados por sistemas de equações de 1o grau com duas incógnitas e interpretá-los, utili- zando, inclusive, o plano cartesiano como recurso. (1) • Cálculo de porcentagens e de acréscimos e decréscimos simples – 7o ano. • Porcentagens: problemas que envolvem cálculo de percentuais sucessivos – 9o ano. (2) • Números racionais na representação fracionária e na decimal: usos, ordenação e associação com pontos da reta numérica e operações – 7o ano. • Números reais: notação científica e problemas – 9o ano. (3) • Linguagem algébrica: variável e incógnita – 7o ano. (4) e (5) • Números racionais na representação fracionária e na decimal: usos, ordenação e associação com pontos da reta numérica e operações – 7o ano. • Potências com expoentes negativos e fracionários – 9o ano. • Números reais: notação científica e problemas – 9o ano. (6), (7) e (8) • Linguagem algébrica: variável e incógnita – 7o ano. • Equivalência de expressões algébricas: identificação da regularidade de uma sequência numérica – 7o ano. • Equações polinomiais do 1o grau – 7o ano. • Funções: representações numérica, algébrica e gráfica – 9o ano. • Expressões algébricas: fatoração e produtos notáveis – 9o ano. Unidade II (2o bimestre) Capítulos Unidades temáticas da BNCC Objetos de conhecimento da BNCC correlacionados Habilidades da BNCC cujo desenvolvimento é favorecido 4 Ângulos e transforma- ções geométricas Geometria Construções geométricas: ângulos de 90°, 60°, 45° e 30° e polígonos regulares. (9) (EF08MA15) Construir, utilizando instrumentos de desenho ou softwares de geometria dinâmica, mediatriz, bissetriz, ângulos de 90°, 60°, 45° e 30° e polígonos regulares. Mediatriz e bissetriz como lugares geométricos: construção e proble- mas. (10) (EF08MA17) Aplicar os conceitos de mediatriz e bissetriz como lugares geométricos na resolução de problemas. Transformações geométricas: si- metrias de translação, reflexão e rotação. (11) (EF08MA18) Reconhecer e construir figuras obtidas por composições de transformações geométricas (translação, reflexão e rotação), com o uso de instrumentos de desenho ou de softwares de geometria dinâmica. XIII Unidade II (2o bimestre) Capítulos Unidades temáticas da BNCC Objetos de conhecimento da BNCC correlacionados Habilidades da BNCC cujo desenvolvimento é favorecido 5 Polígonos Geometria Construções geométricas: ângulos de 90°, 60°, 45° e 30° e polígonos regulares. (12) (EF08MA15) Construir, utilizando instrumentos de desenho ou softwares de geometria dinâmica, mediatriz, bissetriz, ângulos de 90°, 60°, 45° e 30° e polígonos regulares. (EF08MA16) Descrever, por escrito e por meio de um fluxograma, um algoritmo para a construção de um hexágono regular de qualquer área, a partir da medida do ângulo central e da utilização de esquadros e compasso. 6 Probabilidade Números O princípio multiplicativo da conta- gem. (13) (EF08MA03) Resolver e elaborar problemas de contagem cuja resolução envolva a aplicação do princípio multiplicativo. Probabilidade e estatística Princípio multiplicativo da contagem. Soma das probabilidades de todos os elementos de um espaço amos- tral. (14) (EF08MA22) Calcular a probabilidade de eventos, com base na construção do espaço amostral, utili- zando o princípio multiplicativo, e reconhecer que a soma das probabilidades de todos os elementos do espaço amostral é igual a 1. (9), (10) e (12) • Ângulos: noção, usos e medida – 6o ano. • Polígonos regulares: quadrado e triângulo equilátero – 7o ano. • Polígonos regulares – 8o ano. (11) • Transformações geométricas de polígonos no plano cartesiano: multiplicação das coordenadas por um número inteiro e obtenção de simétricos em relação aos eixos e à origem – 7o ano. • Simetrias de translação, rotação e reflexão – 7o ano. (13) e (14) • Problemas de contagem do tipo: “Se cada objeto de uma coleção A for combinado com todos os elementos de uma coleção B, quantos agrupamentos desse tipo podem ser formados?” – 5o ano. • Análise de probabilidade de eventos aleatórios: eventos dependentes e independentes – 9o ano. Unidade III (3o bimestre) Capítulos Unidades temáticas da BNCC Objetos de conhecimento da BNCC correlacionados Habilidades da BNCC cujo desenvolvimento é favorecido 7 Triângulos e quadriláteros Álgebra Sequências recursivas e não recur- sivas. (15) (EF08MA10) Identificar a regularidade de uma sequência numérica ou figural não recursiva e construir um algoritmo por meio de um fluxogra- ma que permita indicar os números ou as figuras seguintes. Geometria Congruência de triângulos e de- monstrações de propriedades de quadriláteros. (16) (EF08MA14) Demonstrar propriedades de qua- driláteros por meio da identificação da congruên- cia de triângulos. 8 Área, volume e capacidade Álgebra Valor numérico de expressões algé- bricas. (17) (EF08MA06) Resolver e elaborar problemas que envolvam cálculo do valor numérico de expres- sões algébricas, utilizando as propriedades das operações. Grandezas e medidas Área de figuras planas. Área do círculo e comprimento de sua circunferência. (18) (EF08MA19) Resolver e elaborar problemas que envolvam medidas de área de figuras geo- métricas, utilizando expressões de cálculo de área (quadriláteros, triângulos e círculos), em situações como determinar medida de terrenos. XIV Unidade III (3o bimestre) Capítulos Unidades temáticas da BNCC Objetos de conhecimento da BNCC correlacionados Habilidades da BNCC cujo desenvolvimento é favorecido 8 Área, volume e capacidade Grandezas e medidas Volume de bloco retangular. Medidas de capacidade. (19) (EF08MA20) Reconhecer a relação entre um litro e um decímetro cúbico e a relação entre litro e metro cúbico, para resolver problemas de cálculo de capacidade de recipientes. (EF08MA21) Resolver e elaborar problemas que envolvam o cálculo do volume de recipiente cujo formato é o de um bloco retangular. 9 Equações do 2o grau Álgebra Valor numérico de expressões algé- bricas. (20) (EF08MA06) Resolver e elaborar problemas que envolvam cálculo do valor numérico de expres- sões algébricas, utilizando as propriedades das operações. Equação polinomial de 2o grau do tipo ax 2 = b. (21) (EF08MA09) Resolver e elaborar, com e sem uso de tecnologias, problemas que possam ser representados por equações polinomiais de 2o grau do tipo ax 2 = b. (15) e (17) • Linguagem algébrica: variável e incógnita – 7o ano. (16) • Polígonos: classificações quanto ao número de vértices, às medidas de lados e ângulos e ao paralelismo e perpendicularismo dos lados – 6o ano. • Triângulos: construção, condição de existência e soma das medidas dos ângulos internos – 7o ano. • Semelhança de triângulos – 9o ano. (18) • Equivalência de área de figuras planas: cálculo de áreas de figuras que podem ser decompostas por outras, cujas áreas podem ser facilmente determinadas como triângulos e quadriláteros – 7o ano. • Medida do comprimento da circunferência – 7o ano. • Relações entre arcos e ângulos na circunferência de um círculo – 9o ano. (19) • Cálculo de volume de blocos retangulares, utilizando unidades de medida convencionais mais usuais – 7o ano. • Volume de prismas e cilindros – 8o ano. (20) e (21) • Linguagem algébrica: variável e incógnita – 7o ano. • Equações polinomiais do 1o grau – 7o ano. • Funções: representações numérica, algébrica e gráfica – 9o ano. • Expressões algébricas: fatoração e produtos notáveis – 9o ano. Unidade IV (4o bimestre) Capítulos Unidades temáticas da BNCC Objetos de conhecimento da BNCC correlacionados Habilidades da BNCC cujo desenvolvimento é favorecido 10 Grandezas e proporcionalidadeÁlgebra Variação de grandezas: diretamente proporcionais, inversamente propor- cionais ou não proporcionais. (22) (EF08MA12) Identificar a natureza da variação de duas grandezas, diretamente, inversamente pro- porcionais ou não proporcionais, expressando a relação existente por meio de sentença algébrica e representá-la no plano cartesiano. (EF08MA13) Resolver e elaborar problemas que envolvam grandezas diretamente ou inversa- mente proporcionais, por meio de estratégias variadas. XV Unidade IV (4o bimestre) Capítulos Unidades temáticas da BNCC Objetos de conhecimento da BNCC correlacionados Habilidades da BNCC cujo desenvolvimento é favorecido 11 Medidas de tendência central e pesquisa estatística Probabilidade e estatística Medidas de tendência central e de dispersão. (23) (EF08MA25) Obter os valores de medidas de tendência central de uma pesquisa estatística (média, moda e mediana) com a compreensão de seus significados e relacioná-los com a dispersão de dados, indicada pela amplitude. Pesquisas censitária ou amostral. Planejamento e execução de pesqui- sa amostra. (24) (EF08MA26) Selecionar razões, de diferentes naturezas (física, ética ou econômica), que justificam a realização de pesquisas amostrais e não censitárias, e reconhecer que a seleção da amostra pode ser feita de diferentes ma- neiras (amostra casual simples, sistemática e estratificada). (EF08MA27) Planejar e executar pesquisa amos- tral, selecionando uma técnica de amostragem adequada, e escrever relatório que contenha os gráficos apropriados para representar os conjuntos de dados, destacando aspectos como as medidas de tendência central, a amplitude e as conclusões. 12 Gráficos estatísticos Probabilidade e estatística Gráficos de barras, colunas, linhas ou setores e seus elementos constituti- vos e adequação para determinado conjunto de dados. (25) (EF08MA23) Avaliar a adequação de diferentes tipos de gráficos para representar um conjunto de dados de uma pesquisa. Organização dos dados de uma variá- vel contínua em classes. (26) (EF08MA24) Classificar as frequências de uma variável contínua de uma pesquisa em classes, de modo que resumam os dados de maneira adequada para a tomada de decisões. Pesquisas censitária ou amostral. Planejamento e execução de pesqui- sa amostra. (27) (EF08MA27) Planejar e executar pesquisa amos- tral, selecionando uma técnica de amostragem adequada, e escrever relatório que contenha os gráficos apropriados para representar os conjuntos de dados, destacando aspectos como as medidas de tendência central, a amplitude e as conclusões. (22) • Problemas envolvendo grandezas diretamente proporcionais e grandezas inversamente proporcionais – 7o ano. • Grandezas diretamente proporcionais e grandezas inversamente proporcionais – 9o ano. (23) • Estatística: média e amplitude de um conjunto de dados – 7o ano. (24) e (27) • Pesquisa amostral e pesquisa censitária. Planejamento de pesquisa, coleta e organização dos dados, construção de tabelas e gráficos e interpretação das informações – 7o ano. • Planejamento e execução de pesquisa amostral e apresentação de relatório – 9o ano. (25) e (26) • Gráficos de setores: interpretação, pertinência e construção para representar conjunto de dados – 7o ano. • Análise de gráficos divulgados pela mídia: elementos que podem induzir a erros de leitura ou de interpretação – 9o ano. • Leitura, interpretação e representação de dados de pesquisa expressos em tabelas de dupla entrada, gráficos de colunas simples e agrupadas, gráficos de barras e de setores e gráficos pictóricos – 9o ano. XVI UNIDADES TEMÁTICAS DE MATEMÁTICA No que se refere aos conteúdos relacionados à unidade temática Números, espera-se que o aluno perceba seus diferentes usos e significados ao longo de sua escolaridade, ampliando o conhecimento construído em anos anteriores. As operações e suas propriedades são trabalhadas de forma gradativa, a cada conjunto numérico abordado: naturais, inteiros, racionais, irracionais e reais. A apresentação dos conteúdos se inicia com a abordagem dos sistemas de numeração, para depois apresentar o sistema de numeração decimal e o conjunto dos números naturais. A partir daí, apresentam-se os demais conteúdos, sistematicamente e sem que cada tópico ou capítulo esgote o conteúdo. O objetivo principal é a atribuição de significados: o cálculo é importante, mas a compreensão dos resultados obtidos na resolução de um problema, ou mesmo ao final de um procedimento, deve ser a meta principal do processo de ensino e de aprendizagem. Nossa opção pela atribuição de significados se reflete não apenas ao longo dos capítulos, mas também nas orientações didáticas presentes na parte específica deste Manual. Ao longo dos Anos Finais do Ensino Fundamental, a Álgebra privilegia o desenvolvimento dos pro- cessos de abstração e de generalização. Nesse aspecto, destaca-se a importância de que o ensino dos conteúdos dessa unidade temática não se limite à repetição de algoritmos. É necessário que o aluno desenvolva ferramentas para resolver problemas. Por isso, os exercícios de fixação são importantes, mas não devem se constituir em abordagem principal. O desenvolvimento do pensamento algébrico iniciado nos Anos Iniciais do Ensino Fundamental deve ser retomado e aprofundado nos Anos Finais. De acordo com a BNCC: Nessa fase, os alunos devem compreender os diferentes significados das variáveis numé- ricas em uma expressão, estabelecer uma generalização de uma propriedade, investigar a regularidade de uma sequência numérica, indicar um valor desconhecido em uma sentença algébrica e estabelecer a variação entre duas grandezas. É necessário, portanto, que os alu- nos estabeleçam conexões entre variável e função e entre incógnita e equação. As técnicas de resolução de equações e inequações, inclusive no plano cartesiano, devem ser desenvol- vidas como uma maneira de representar e resolver determinados tipos de problema, e não como objetos de estudo em si mesmos. Outro aspecto a ser considerado é que a aprendizagem de Álgebra, como também aquelas relacionadas a outros campos da Matemática (Números, Geometria e Probabilidade e esta- tística), podem contribuir para o desenvolvimento do pensamento computacional dos alu- nos, tendo em vista que eles precisam ser capazes de traduzir uma situação dada em outras linguagens, como transformar situações-problema, apresentadas em língua materna, em fórmulas, tabelas e gráficos e vice-versa. A percepção de padrões contribui bastante para a compreensão dos procedimentos, por exemplo, para a operação entre monômios, entre polinômios, para o desenvolvimento de expressões algébricas, para o trabalho com as funções: a introdução das letras como variável, como incógnita ou como símbolo pode ser trabalhada a partir da observação de padrões, antes que se apresentem os algoritmos. A utilização de calculadoras, planilhas eletrônicas e softwares para o ensino da Matemática também favorece a construção de significados; a construção de gráficos, por exemplo, pode ser extremamente favorecida pelo uso de ambiente computacional. O papel da Geometria é fundamental na construção do conhecimento matemático pelo aluno. O conhecimento nessa área é trabalhado desde os primeiros anos de escolaridade e se aprofunda nos Anos Finais do Ensino Fundamental, em uma articulação desejável entre a Geometria plana e a Geometria XVII espacial. A utilização de softwares livres de geometria dinâmica (iGeom e GeoGebra, por exemplo) e de materiais concretos facilita a compreensão por meio da visualização e da manipulação das figuras geomé- tricas, permitindo avançar no estudo do espaço, das formas, das grandezas relacionadas e suas medidas. As construções com régua e compasso ampliam e aprofundam as relações construídas pelos alunos. Nesse contexto, insere-se a abordagem das transformações geométricas, do estudo das vistas e da percepção espacial, dos deslocamentosno plano e no sistema cartesiano. A resolução de problemas é um cenário potencial para essa abordagem. Os primeiros passos na argumentação e na demonstração são dados também nesse cenário da Geometria. No entanto, deve-se evitar nessa fase de escolaridade o excesso de formalização. Isso porque a construção do pensamento geométrico é um processo não linear, que está em constante desenvolvimento ao longo da vida escolar do aluno. O campo designado por Probabilidade e estatística é bastante propício ao desenvolvimento de atividades lúdicas e de atividades que trabalhem com a criticidade dos alunos: são trabalhadas no Ensino Fundamental algumas ferramentas que auxiliam na compreensão de notícias, de dados fornecidos pelas diversas mídias, de dados referentes à vida cotidiana pessoal do aluno e da família. Amplia-se, assim, um cenário de construção da cidadania. A coleta de dados e sua organização em tabelas e gráficos são uma etapa anunciada pelas pesquisas na área como fundamental para que os alunos aprendam a mobilizar correta e adequadamente seus conhecimentos para análise estatística desses dados coletados. O objetivo será sempre responder a um questionamento por meio da análise desses dados. Aprofunda-se também a discussão que permite distinguir o aleatório do determinístico. Nesse sentido, o estudo da probabilidade por meio de experimentações e simulações é bastante favorecido. O professor tem a possibilidade de utilizar tanto materiais concretos (jogos ou materiais construídos com os alunos, que possam ser utilizados para a realização de sorteios aleatórios e simulações) como softwares livres (por exemplo, o GeoGebra). O objetivo deve ser a construção de estimativas plausíveis para resultados de experimentos aleatórios. A leitura estatística e probabilística dos fatos que nos cercam fornece importantes elementos para decisões no campo pessoal, nutricional, de investimentos, de segurança, de confiabilidade em proces- sos de qualidade, em processos de pesquisa de opinião, entre muitas outras. A percepção e a apreensão da variação dos dados coletados nos diversos contextos que se quer analisar são objetivos centrais no estudo dos conteúdos ligados ao tratamento da informação. Os conteúdos relacionados à unidade temática Grandezas e medidas podem ser abordados em articulação com as demais unidades temáticas da Matemática escolar. Contextos ligados ao cotidiano do aluno fornecem elementos para que o professor possa trabalhar tais conteúdos em sala de aula, sem desvincular a Matemática da realidade do aluno. A compreensão das diversas grandezas e das medidas que se associam, destacando a discussão sobre as mudanças de unidades e os efeitos de tais mudanças na análise dos resultados observados na resolução das atividades propostas, é fundamental para a aprendizagem conceitual da Matemática. Nesse sentido, destaca-se o papel do trabalho com os instrumentos de medida. Sobre o estudo de Grandezas e medidas, a BNCC aponta: As medidas quantificam grandezas do mundo físico e são fundamentais para a compreensão da realidade. Assim, a unidade temática Grandezas e medidas, ao propor o estudo das medidas e das relações entre elas ‒ ou seja, das relações métricas ‒, favorece a integração da Matemática a outras áreas de conhecimento, como Ciências (densidade, grandezas e escalas do Sistema Solar, energia elétrica etc.) ou Geografia (coordenadas geográficas, densidade demográfica, escalas de mapas e guias etc.). Essa unidade temática contribui ainda para a consolidação e ampliação da noção de número, a aplicação de noções geométricas e a construção do pensamento algébrico. XVIIIXVIII O TRABALHO INTERDISCIPLINAR NA ESCOLA No vasto panorama do processo de ensino-aprendizagem, a aquisição de conhecimentos de Matemá- tica não deve se restringir a esse componente curricular, mas abranger outros componentes curriculares. Então, o ensino só será completo se, no planejamento anual, houver previsão de propostas de trabalhos interdisciplinares na escola. Partindo da atual organização do currículo escolar em diferentes componentes curriculares, como Língua Portuguesa, Matemática, Geografia, História, Ciências, Arte, entre outros, a interdisciplinaridade na Educação deve levar em conta uma abordagem que supere a fragmentação do saber escolar, muitas vezes trabalhado de modo excessivamente compartimentado e, por isso, distante da realidade dos alunos. O pesquisador Hilton Japiassu afirma que a interdisciplinaridade absorve os produtos dos diversos componentes curriculares, “tomando-lhes de empréstimo esquemas conceituais de análise a fim de fazê-los se integrar, depois de havê-los comparado e julgado” 5. Essa formulação, embora tenha em vista especificamente o saber acadêmico, cujo processo de disciplinarização responde a questões de natureza diversa da organização disciplinar do currículo escolar, não deixa de ser pertinente à aplicação de propostas interdisciplinares, que têm sido um desafio aos educadores. Quando o aluno se defronta com um problema, o conhecimento adquirido previamente acerca da situação apresentada não se limita à abordagem unicamente disciplinar, mas a ultrapassa. Maingain e Dufour 6 observam que o conhecimento é global, pautado em multidimensões, que não necessariamente se restringem às áreas disciplinares, entretanto, um campo disciplinar oferece as sistematizações necessárias. A combinação das multidimensões e das sistematizações constrói representações de uma situação particular, sendo, portanto, compreendida como uma perspectiva interdisciplinar. Em outras palavras, pensar a interdisciplinaridade na Educação Básica significa estabelecer relações entre as dife- rentes disciplinas para além da mera justaposição, mas aquém de uma fusão e, consequentemente, da desintegração do saber disciplinar. Assim, nesta coleção, são favorecidas as situações de aprendizagem que, para além dos limites de cada componente curricular, incentivam a participação social, a cooperação, a tomada de decisões e a escolha de procedimentos. É uma proposta pensada para a ação do professor em sala de aula e para a ação do aluno tanto no ambiente escolar quanto no convívio social. Nesse sentido, a postura do professor é fundamental para que o trabalho interdisciplinar seja desen- volvido de forma consistente e significativa. Cabe aqui uma reflexão, de acordo com o professor Nilbo Ribeiro Nogueira 7: Uma atitude interdisciplinar É importante refletir sobre a postura do professor, pois é ela que norteará os trabalhos de caráter interdisciplinar. Acreditamos que não basta apenas ter vontade de praticar a interdisciplinaridade; deve haver uma vontade política que vai além do discurso e assume uma atitude interdisciplinar. "... uma atitude diante de alternativas para conhecer mais e melhor, atitude de espera ante os atos consumados, atitude de reciprocidade que impele à troca, que impele ao diálogo ‒ ao diálogo com pares idênticos, com pares anônimos ou consigo mesmo ‒ atitude de humildade diante da limitação do próprio saber, atitude de perplexidade ante a possibilidade de desvendar novos saberes, atitude de desafio ‒ desafio perante o novo, desafio em redimensionar o velho ‒, atitude de envolvimento e comprometimento com as pessoas neles envolvidas, atitude, pois, de compromisso em construir sempre da melhor forma possível, atitude de responsabilidade, mas, sobretudo, de alegria, de revelação, de encontro, enfim, de vida.” (FAZENDA, 1998, p. 82) 5 JAPIASSU, Hilton. Interdisciplinaridade e patologia do saber. Rio de Janeiro: Imago, 1976. p. 32. 6 MAINGAIN, Alain; DUFOUR, Barbara. Abordagens didáticas da interdisciplinaridade. Lisboa: Instituto Piaget, 2002. 7 NOGUEIRA, Nilbo Ribeiro. Pedagogia dos projetos: uma jornada interdisciplinar rumo ao desenvolvimento das múltiplas inteligências. 7. ed. São Paulo: Érica, 2010. XIXXIX Tal atitude ainda exigirá romper com velhos paradigmas, acreditar no novo, conceber a hipótese de que oaprendiz é possuidor de um espectro de competências ávidas a serem desenvolvidas, e que apenas ministrando 100% de um determinado conteúdo não garantirá os estímulos, as ações, as vivências, a interação social e todos os demais fatores essenciais à construção do conhecimento. Por outro lado, a postura e a atitude interdisciplinar podem garantir uma atuação mediadora do professor que, tal qual um facilitador, busca o foco de interesse, facilita o acesso aos materiais de pesquisa, indaga mais do que responde, promove discussões etc., sempre preocupado mais com o processo do que com o produto, garantindo o sucesso do processo de aprendizagem. Esta não pode e nem deve ser uma postura de um único professor. A grande dificuldade reside em disseminá-la por toda a equipe, evitando desta forma a desuniformidade das ações, que ora podem surgir de forma disciplinar e [ora] compartimentada em alguns professores, comprometendo o desenrolar do processo interdisciplinar. A equipe deve possuir perfeito canal de comunicação. A regra decisória passa a ser o consenso, já que desta forma pode-se cobrar o comprometimento; há de se estabelecer divisões de tarefas e equidade nas informações tanto de ordem procedimental como de resultados. Desta forma, só é possível pensar em interdisciplinaridade quando se possui uma equipe comprometida, bem diferente dos grupos de sujeitos isolados, que preocupam-se no máximo com o produto mensurável, demonstrado nas avaliações de caráter quantitativo. Conforme exposto pelo autor, o trabalho interdisciplinar só é efetivo se for desenvolvido em conjunto, por uma equipe comprometida de professores e com o apoio da escola. Além disso, os professores, mediadores do trabalho interdisciplinar, devem se preocupar mais com o processo do que com o produto. Para auxiliar nesse processo, esta coleção sugere possibilidades de trabalhos interdisciplinares ao longo das orientações específicas, mas é importante ressaltar que compete a cada escola e a cada equipe de profissionais definir o projeto que será desenvolvido de acordo com sua realidade. Nesse sentido, cabe a reflexão e a discussão coletiva para que se realize um trabalho interdisciplinar consistente e coerente com a proposta da escola e que seja enriquecedor para o aluno. A UTILIZAÇÃO DA HISTÓRIA DA MATEMÁTICA A abordagem de episódios da história da Matemática permite aos alunos a percepção de que a Matemática não é uma ciência pronta e acabada. Ela se desenvolveu (e se desenvolve) ao longo do tempo. Textos breves que trazem informações sobre fatos e pessoas ligadas ao seu desenvolvimento permitem ao professor promover discussões e sugerir pesquisas aos alunos, com o objetivo de ampliar os horizontes da aprendizagem matemática. No estudo de conteúdos da Geometria, por exemplo, o trabalho com pesquisas que permitam conhecer elementos sobre sua história, sobre os locais onde a Geometria se desenvolveu, sobre as características sociais e geográficas desses locais, pode contribuir para a compreensão do contexto no qual o objeto matemático em estudo se desenvolveu. A aprendizagem matemática tem, assim, como ferramenta didática disponível a história da Matemática, junto à resolução de problemas e à modelagem. Não cabe ao livro didático fazer um estudo aprofundado da história, mas, sim, promover elementos que servirão como ponto de partida para complementação e aprofundamento dos conteúdos abordados. AS TECNOLOGIAS E A APRENDIZAGEM DA MATEMÁTICA A utilização das diversas tecnologias de aprendizagem na aula de Matemática permite uma expansão das oportunidades de aquisição de conhecimento – por exemplo, a calculadora e os softwares para aprendizagem da Matemática, que permitem a ampliação na busca de novas estratégias para resolução de problemas. Sobre esse assunto, discorre Aguiar (2008),8 A utilização e a exploração de aplicativos e/ou softwares computacionais em Matemática podem desafiar o aluno a pensar sobre o que está sendo feito e, ao mesmo tempo, levá-lo a articular os significados e as conjecturas sobre os meios utilizados e os resultados obtidos, conduzindo-o a uma mudança de paradigma com relação ao estudo, na qual as propriedades matemáticas, as técnicas, as ideias e as heurísticas passem a ser objeto de estudo. (p. 64) 8 AGUIAR, E. V. B. As novas tecnologias e o ensino-aprendizagem. VÉRTICES, v. 10, n. 1/3, jan./dez. 2008. Disponível em: <http://www.pucrs.br/famat/viali/tic_literatura/artigos/outros/Aguiar_Rosane.pdf>. Acesso em: 21 ago. 2018. http://www.pucrs.br/famat/viali/tic_literatura/artigos/outros/Aguiar_Rosane.pdf XX A prontidão para a atuação profissional compreende o conhecimento de diversas tecnologias e linguagens, e a escola é um dos ambientes mais propícios para a construção de tal conhecimento. Não cabe ao Ensino Fundamental o preparo de mão de obra especializada. No entanto, em uma época em que as tecnologias digitais estão mais acessíveis, haja vista a quantidade de telefones celulares no Brasil, a escola não pode ficar alheia a essa realidade, deixando de instrumentalizar os alunos para o uso dessas tecnologias, especialmente para que conheçam os bons e os maus usos delas e se previnam. O PAPEL DO ERRO NA APRENDIZAGEM O erro tem papel fundamental na vida de qualquer pessoa. Todos sabemos disso, no entanto, na aprendizagem escolar, o erro muitas vezes é motivo de frustração e angústia, levando muitos alunos a desistirem da escola por se sentirem incapazes. A pesquisadora e professora norte-americana Jo Boaler discorre sobre a importância do erro ‒ tanto na escola quanto na vida ‒ na obra Mentalidades matemáticas (Porto Alegre: Penso, 2018), da qual destacamos os trechos a seguir. [...] Carol Dweck reuniu-se com os professores e disse algo que os impressionou: "Toda vez que um aluno comete um erro de matemática, ele cria uma sinapse". Houve um audível suspiro na sala, enquanto os professores se davam conta da importância dessa declaração. Uma razão pela qual essa declaração é tão importante é que ela atesta o imenso poder e valor dos erros, embora os estudantes sempre pensem que cometer erros significa não ser uma "pessoa de matemática", ou pior, não ser inteligente. Muitos bons professores disseram a seus alunos durante anos que erros são úteis e mostram que estamos aprendendo, mas as novas evidências sobre o cérebro revelam algo mais significativo. O psicólogo Jason Moser estudou os mecanismos neurais que operam nos cérebros das pessoas quando elas cometem erros [...] Jason e seu grupo descobriram uma coisa fascinante. Quando cometemos um erro, o cérebro tem duas possíveis respostas. A primeira, chamada de negatividade relacionada ao erro (NRE), é um aumento da atividade elétrica quando o cérebro experimenta o conflito entre uma resposta correta e um erro. O interessante é que essa atividade cerebral ocorre quer a pessoa saiba que cometeu um erro ou não. A segunda resposta, chamada de Pe [atividade elétrica], é um sinal cerebral que reflete atenção consciente a erros. Isso acontece quando existe consciência de que um erro foi cometido e a atenção consciente é dada a ele. Quando eu disse aos professores que erros causam disparos no cérebro e fazem com que ele cresça, eles argumentaram: "Com certeza isso acontece somente se os estudantes c or- rigem seu erro e continuam a resolver o problema". Mas esse não é o caso. Na verdade, o estudo de Moser mostra que nós nem sequer precisamos estar conscientes de que come- temos um erro para que ocorram disparos cerebrais. Quando professores me perguntam como isso é possível, respondo que o melhor raciocínio de que dispomos sobre tal assunto agora é que o cérebro dispara e cresce quando cometemos um erro, mesmo que não estejamos conscientes disso, porque é um momento de dificuldade; o cérebro é desafiado e, nesse momento, ele cresce. [...] O poder dos erros é uma informação crucial, pois crianças e adultos, em toda parte, com frequência se sentem péssimos quando cometem umerro matemático. Eles pensam que isso significa que não são pessoas aptas para a matemática, porque foram educados em uma cultura do desempenho [...], na qual erros não são valorizados ‒ ou pior ‒ são punidos. Considerando o exposto, como educadores, podemos refletir sobre algumas questões: • o erro deve ser encarado com naturalidade e incentivo para o acerto, para que o sentimento de frustração e de desalento dê lugar ao de satisfação pelo aprender; • a exposição dos erros pode proporcionar produtivos momentos de aprendizagem e ser feita pelos alunos para que, juntos, os compreendam e encontrem caminhos para o acerto; • atividades desafiadoras e reflexivas devem fazer parte do dia a dia da sala de aula, no lugar das ativi- dades que induzam ao acerto, pela sua simplicidade. Adotar essas práticas pode ser proveitoso para os alunos, para os professores e para os responsáveis, que, muitas vezes, veem a aprendizagem dos filhos apenas pelo viés dos acertos e das notas. XXI AVALIAÇÃO DE APRENDIZAGEM A avaliação é um momento fundamental no processo de ensino. Ela é um instrumento norteador do trabalho docente: “O que avaliar? Como avaliar?”. Esses questionamentos permitem ao professor identificar possíveis dificuldades dos alunos, podendo construir atividades para sua superação. A avaliação permite rever e redesenhar os caminhos para que a aprendizagem seja alcançada ‒ e não vamos confundir a atribuição de uma nota com o acompanhamento do processo de aprendizagem visado. Para avaliar, é necessário conhecer os alunos e suas características relativas à aprendizagem matemática. É preciso identificar elementos que permitam ao professor estabelecer e reavaliar metas, processos, pla- nejar atividades adequadas para a introdução, para o aprofundamento e para a avaliação da aprendizagem desses alunos. Cada um deles tem seu próprio ritmo, que deve ser considerado: o tempo didático e o tempo cronológico não correm da mesma forma o que, muitas vezes, explica as dificuldades detectadas. Não se trata de individualizar o ensino, mas de buscar as melhores formas de fazer a gestão das situações de aprendizagem e, em paralelo, das situações de avaliação. Estas acontecem continuamente, a cada aula, a cada momento. Vários são os instrumentos que permitem ao professor obter as informações necessárias para o melhor planejamento, assim como atender à necessidade de quantificação da aprendizagem: atribuir uma nota ou um conceito. Destaca-se a importância da utilização de vários instrumentos simultaneamente, de forma a melhorar as oportunidades para que o aluno mostre efetivamente o que aprendeu (ou o que não aprendeu e precisa ser retomado pelo professor). Por exemplo: provas, relatórios, autoavaliação, trabalhos em equipe, participação em discussões orais, abertura para expor suas dúvidas e, especial- mente, a possibilidade de discutir seus erros, compreender por que errou e corrigi-los. Cabe ao professor, com base no conhecimento de suas turmas, escolher os instrumentos mais ade- quados aos objetivos fixados em seu plano de ensino. Algumas dessas medidas são subjetivas, mas os critérios utilizados devem ser explicitados aos alunos. Destaca-se a necessidade de não limitar a avaliação aos aspectos cognitivos, uma vez que a formação do aluno deve ser a mais completa: aspectos comportamentais, atitudinais, também devem ser considerados. Lembramos que um objetivo a ser fixado é o de uma educação democrática, inclusiva, e a avaliação tem papel fundamental nesse processo. Para a elaboração do plano de avaliação, devem-se considerar os objetivos propostos em cada um dos níveis de escolaridade. Uma listagem desses objetivos permite sua operacionalização, e, a partir daí, escolhem-se os melhores instrumentos. Veja a seguir uma sugestão de listagem que considera não apenas os aspectos cognitivos específicos, mas também os atitudinais. Observe que a construção da autonomia é um objetivo perene, que acom- panha toda a formação do aluno. Meu aluno é capaz de: • “enfrentar” a resolução do problema; • entender o contexto das atividades propostas; • compreender o texto das atividades propostas; • explicitar o problema com suas palavras; • selecionar dados da questão de forma autônoma; • resolver o problema; • verificar se a solução é adequada; • fazer uso adequado de calculadora e outros materiais de forma a buscar soluções para o que é proposto de forma autônoma; • trabalhar em grupo de forma colaborativa; • trabalhar individualmente com autonomia; • utilizar corretamente a linguagem matemática. Para ajudar o professor no processo de avaliação contínua dos alunos, o Material do Professor ‒ Digital traz sequências didáticas relacionadas aos conteúdos bimestrais da coleção, com organização aula a aula, oferecendo uma ficha de autoavaliação para o aluno. Além disso, esse material apresenta avaliações bimestrais com gabarito comentado, grade de correção e ficha para acompanhamento de aprendizagem dos alunos. XXII FORMAÇÃO DO PROFESSOR — SUGESTÕES DE LEITURA E SITES A. Sugestões de leitura BARBEIRO, Eulália da Conceição. A aprendizagem das equações do 1o grau a uma incógnita: uma análise dos erros e das dificuldades de alunos de 7o ano de escolaridade. Disponível em: <http://repositorio.ul.pt/ bitstream/10451/8318/1/ulfpie043292_tm.pdf>. Acesso em: 16 ago. 2018. BERNAL, Márcia Maria. Estudo do objeto proporção: elementos de sua organização matemática como objeto a ensinar e como objeto ensinado. Disponível em: <https://repositorio.ufsc.br/bitstream/ handle/123456789/86993/205628.pdf?sequence=1>. Acesso em: 16 ago. 2018. BOALER, Jo. Mentalidades matemáticas . Porto Alegre: Penso, 2018. BORRALHO, A.; BARBOSA, Elsa. Exploração de padrões e pensamento algébrico. Disponível em: <http://www. ese.ipvc.pt/padroes/artigos/2009_10.pdf>. Acesso em: 23 out. 2018.> _______. CABRITA, I.; PALHARES, P.; VALE, I. Os padrões no ensino e aprendizagem da Álgebra. Disponível em: <https://dspace.uevora.pt/rdpc/bitstream/10174/1416/1/Padr%C3%B5es%20Caminha. pdf>. Acesso em: 16 ago. 2018. BRANCO, Neusa Cristina Vicente. O estudo de padrões e regularidades no desenvolvimento do pensamento algébrico. Disponível em: <http://repositorio.ul.pt/bitstream/10451/1197/1/17737_ULFC086729_TM.pdf>. Acesso em: 16 ago. 2018. BRASIL. Base Nacional Comum Curricular ‒ versão final. Brasília: MEC, 2017. Disponível em: <http:// basenacionalcomum.mec.gov.br/wp-content/uploads/2018/02/bncc-20dez-site.pdf>. Acesso em: 16 ago. 2018. CAMPOS, Tania M. M.; SOUZA, Vera Helena G. de. Resolução de desigualdades com uma incógnita: uma análise de erros. Disponível em: <http://www.fisem.org/www/union/revistas/2008/14/Union_014_007.pdf>. Acesso em: 16 ago. 2018. COLLARES, Bruno Marques; LIMA, Diego Fontoura. Por que inverter o sinal da desigualdade em uma ine quação? Disponível em: <http://www.projetos.unijui.edu.br/matematica/cnem/cnem/principal/re/PDF/ RE38.pdf>. Acesso em: 16 ago. 2018. GROENWALD, Claudia Lisete Oliveira. Pensamento aritmético e pensamento algébrico no Ensino Fundamental. Disponível em: <http://w3.ufsm.br/ceem/eiemat/Anais/arquivos/ed_4/MC/MC_Groenwald_ Claudia.pdf>. Acesso em: 16 ago. 2018. HUMMES, Viviane Beatriz; NOTARE, Marcia Rodrigues. Aprendizagem significativa de equações do 1o grau: um estudo de caso com alunos do sétimo ano do Ensino Fundamental. Disponível em: <http://www.eventos.ulbra. br/index.php/ebrapem2012/xviebrapem/paper/viewFile/420/350>. Acesso em: 16 ago. 2018. LIMA, Duílio Tavares de. Fichas temáticas : resolvendo equações do 1o grau. Disponível em: <http://www1.pucminas.br/imagedb/documento/DOC_DSC_NOME_ARQUI20130919095224. pdf?PHPSESSID=5b59a548f19a92caf50a35dc8b2fb0d4>. Acesso em: 16 ago. 2018. LOPES, Celi Aparecida Espasadin; MEIRELLES, Elaine. O desenvolvimento da Probabilidade e da Estatística. Disponível em: <https://www.ime.unicamp.br/erpm2005/anais/m_cur/mc02_b.pdf>. Acesso em: 16 ago. 2018 MAGALHÃES, Adil Ferreira. Uma sequência de atividades