Problemas de Cálculo Matemático

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Resposta: \( a = -\frac{3}{2} \). Explicação: Use a segunda derivada para encontrar \( a \) 
que faz com que a concavidade mude em \( x = 2 \). 
 
10. Problema: Calcule a integral definida de \( \int_0^{\pi/2} \cos(x) \, dx \). 
 Resposta: \( \int_0^{\pi/2} \cos(x) \, dx = 1 \). Explicação: A integral de \( \cos(x) \) de \( 0 
\) a \( \pi/2 \) é igual a \( \sin(x) \) de \( 0 \) a \( \pi/2 \), que é \( 1 \). 
 
11. Problema: Encontre os pontos de interseção entre as curvas \( y = x^2 \) e \( y = 2x - 1 
\). 
 Resposta: \( (1, 1) \) e \( (-1, 1) \). Explicação: Igualar as duas expressões para \( y \) e 
resolver para \( x \). 
 
12. Problema: Resolva a equação \( \log_2(x) = 3 \). 
 Resposta: \( x = 8 \). Explicação: Use a definição de logaritmo para resolver. 
 
13. Problema: Determine o intervalo de crescimento da função \( f(x) = 2x^3 - 3x^2 - 12x + 
5 \). 
 Resposta: \( (-\infty, -1) \) e \( (2, \infty) \). Explicação: Encontre onde a primeira derivada 
é positiva. 
 
14. Problema: Calcule a área da região limitada pelas curvas \( y = x^2 \) e \( y = 2x \). 
 Resposta: \( \frac{8}{3} \). Explicação: Subtraia as duas áreas sob as curvas. 
 
15. Problema: Encontre a equação da reta normal à curva \( y = \sqrt{x} \) no ponto \( (4, 2) 
\). 
 Resposta: \( y = -\frac{1}{4}x + 4 \). Explicação: A inclinação da reta normal é o inverso 
negativo da inclinação da tangente. 
 
16. Problema: Calcule a integral indefinida de \( \int \frac{1}{x^2} \, dx \). 
 Resposta: \( \int \frac{1}{x^2} \, dx = -\frac{1}{x} + C \). Explicação: Use a regra do inverso 
para integrar. 
 
17. Problema: Determine os pontos de máximo e mínimo relativos da função \( f(x) = x^3 - 
6x^2 + 9x \).