Problemas de Cálculo Matemático

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Resposta: \( (-\infty, -2) \) e \( (2, \infty) \). Explicação: Encontre onde a primeira derivada 
é positiva. 
 
34. Problema: Calcule a área da região limitada pelas curvas \( y = x^2 \) e \( y = 8 - x^2 \). 
 Resposta: \( \frac{128}{3} \). Explicação: Subtraia as duas áreas sob as curvas. 
 
35. Problema: Encontre a equação da reta normal à curva \( y = \ln(x) \) no ponto \( (1, 0) \). 
 Resposta: \( y = -x \). Explicação: A inclinação da reta normal é o inverso negativo da 
inclinação da tangente. 
 
36. Problema: Calcule a integral indefinida de \( \int \frac{1}{x^3} \, dx \). 
 Resposta: \( \int \frac{1}{x^3} \, dx = -\frac{1}{2x^2} + C \). Explicação: Use a integração 
por substituição. 
 
37. Problema: Determine os pontos de máximo e mínimo relativos da função \( f(x) = x^3 - 
12x \). 
 Resposta: Máximo relativo em \( (2, -16) \) e mínimo relativo em \( (-2, 16) \). Explicação: 
Encontre os pontos críticos e aplique o teste da derivada segunda. 
 
38. Problema: Resolva o sistema de equações: \( x + y = 7 \) e \( 2x - y = 1 \). 
 Resposta: \( x = 3 \) e \( y = 4 \). Explicação: Use substituição ou eliminação para 
encontrar os valores de \( x \) e \( y \). 
 
39. Problema: Encontre os valores de \( a \) para os quais a função \( f(x) = ax^4 - 12x^2 \) 
tem um ponto de inflexão em \( x = -2 \). 
 Resposta: \( a = 3 \) e \( a = 
 
 -3 \). Explicação: Use a segunda derivada para encontrar os valores de \( a \) que mudam 
a concavidade em \( x = -2 \). 
 
40. Problema: Calcule a integral definida de \( \int_0^1 \cos(x) \, dx \). 
 Resposta: \( \int_0^1 \cos(x) \, dx = \sin(1) \). Explicação: Avalie a função integrada de \( 
0 \) a \( 1 \).