Problemas de Cálculo e Álgebra

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67. Problema: Calcule o valor de \( \frac{d}{dx}(\cos^2(x)) \). 
 Resposta: \( \frac{d}{dx}(\cos^2(x)) = -2\sin(x)\cos(x) \). Explicação: Usamos a regra do 
produto para derivar a função. 
 
68. Problema: Determine a equação da reta que passa pelo ponto \( (1, -2) \) e é 
perpendicular à reta \( y = 2x + 3 \). 
 Resposta: A equação é \( y = -\frac{1}{2}x - \frac{5}{2} \). Explicação: Encontramos a 
inclinação da reta perpendicular e usamos o ponto dado para encontrar a equação. 
 
69. Problema: Resolva a inequação \( \frac{1}{x-2} \geq 0 \). 
 Resposta: A solução é \( x \leq 2 \) ou \( x > 2 \). Explicação: Observamos os intervalos 
onde a função é não negativa. 
 
70. Problema: Determine a área da região delimitada pelas curvas \( y = \ln(x) \) e \( y = x - 1 
\) no intervalo \( [1, e] \). 
 Resposta: A área é \( e - 1 \) unidades quadradas. Explicação: Integramos a diferença 
entre as duas funções no intervalo dado. 
 
71. Problema: Calcule o valor de \( \int_{0}^{\pi} \cos(x) \, dx \). 
 Resposta: A integral definida é 0. Explicação: Integramos a função e avaliamos nos 
limites de integração. 
 
72. Problema: Determine a inclinação da reta que passa pelos pontos \( (2, 3) \) e \( (4, 5) 
\). 
 Resposta: A inclinação é \( m = 1 \). Explicação: Usamos a fórmula da inclinação para 
encontrar a inclinação da reta. 
 
73. Problema: Resolva a equação diferencial \( \frac{dy}{dx} = \frac{1}{x} + y^2 \). 
 Resposta: A solução geral é \( y = \frac{1}{2}\ln|x| - \frac{1}{x} + \frac{C}{1 - Cx} \), onde \( 
C \) é uma constante. Explicação: Usamos o método da separação de variáveis para 
resolver a equação. 
 
74. Problema: Determine os valores de \( x \) para os quais a função \( f(x) = \frac{1}{x^2} \) 
é decrescente. 
 Resposta: A função é decrescente para \( x < 0 \) e \( x > 0 \). Explicação: Observamos o 
sinal da derivada da função.