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67. Problema: Calcule o valor de \( \frac{d}{dx}(\cos^2(x)) \). Resposta: \( \frac{d}{dx}(\cos^2(x)) = -2\sin(x)\cos(x) \). Explicação: Usamos a regra do produto para derivar a função. 68. Problema: Determine a equação da reta que passa pelo ponto \( (1, -2) \) e é perpendicular à reta \( y = 2x + 3 \). Resposta: A equação é \( y = -\frac{1}{2}x - \frac{5}{2} \). Explicação: Encontramos a inclinação da reta perpendicular e usamos o ponto dado para encontrar a equação. 69. Problema: Resolva a inequação \( \frac{1}{x-2} \geq 0 \). Resposta: A solução é \( x \leq 2 \) ou \( x > 2 \). Explicação: Observamos os intervalos onde a função é não negativa. 70. Problema: Determine a área da região delimitada pelas curvas \( y = \ln(x) \) e \( y = x - 1 \) no intervalo \( [1, e] \). Resposta: A área é \( e - 1 \) unidades quadradas. Explicação: Integramos a diferença entre as duas funções no intervalo dado. 71. Problema: Calcule o valor de \( \int_{0}^{\pi} \cos(x) \, dx \). Resposta: A integral definida é 0. Explicação: Integramos a função e avaliamos nos limites de integração. 72. Problema: Determine a inclinação da reta que passa pelos pontos \( (2, 3) \) e \( (4, 5) \). Resposta: A inclinação é \( m = 1 \). Explicação: Usamos a fórmula da inclinação para encontrar a inclinação da reta. 73. Problema: Resolva a equação diferencial \( \frac{dy}{dx} = \frac{1}{x} + y^2 \). Resposta: A solução geral é \( y = \frac{1}{2}\ln|x| - \frac{1}{x} + \frac{C}{1 - Cx} \), onde \( C \) é uma constante. Explicação: Usamos o método da separação de variáveis para resolver a equação. 74. Problema: Determine os valores de \( x \) para os quais a função \( f(x) = \frac{1}{x^2} \) é decrescente. Resposta: A função é decrescente para \( x < 0 \) e \( x > 0 \). Explicação: Observamos o sinal da derivada da função.