Cálculos de Cálculo

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Resposta: \( x = \frac{\pi}{3} + n\pi \), onde \( n \) é um número inteiro. 
 Explicação: Aplicamos a definição da tangente para resolver a equação. 
 
55. Problema: Encontre a integral indefinida de \( g(x) = \sec^2(x) \). 
 Resposta: \( \int \sec^2(x) \, dx = \tan(x) + C \), onde \( C \) é a constante de integração. 
 Explicação: Utilizamos a regra de integração para a secante ao quadrado. 
 
56. Problema: Calcule a derivada de \( f(x) = \arctan(e^x) \). 
 Resposta: \( f'(x) = \frac{e^x}{1 + e^{2x}} \). 
 Explicação: Utilizamos a regra da cadeia para derivar a arcotangente da função 
exponencial. 
 
57. Problema: Encontre a integral definida de \( f(x) = \frac{1}{x^2 - 4} \) de 2 a 3. 
 Resposta: \( \int_2^3 \frac{1}{x^2 - 4} \, dx = \frac{1}{4}\ln\left(\frac{3}{2}\right) \). 
 Explicação: Utilizamos a definição de integral definida e avaliamos nos limites de 
integração. 
 
58. Problema: Calcule \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin^2(x)}{x^2} \). 
 Resposta: O limite é 1. 
 Explicação: Utilizamos a propriedade do limite fundamental do seno ao quadrado. 
 
59. Problema: Determine a derivada de \( f(x) = \arctan(\ln(x)) \). 
 Resposta: \( f'(x) = \frac{1}{x(1 + \ln^2(x))} \). 
 Explicação: Utilizamos a regra da cadeia para derivar a arcotangente da função logarí 
 
tmica. 
 
60. Problema: Resolva a equação \( \cos(3x) = \frac{\sqrt{3}}{2} \). 
 Resposta: \( x = \frac{\pi}{6} + \frac{n\pi}{3} \), onde \( n \) é um número inteiro. 
 Explicação: Aplicamos a definição do cosseno para resolver a equação. 
 
61. Problema: Encontre a integral indefinida de \( g(x) = \csc(x)\cot(x) \).