Matematica todos os anos (137)

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59. Problema: Calcule o valor de \( \int_{0}^{1} e^x \, dx \). 
 Resposta: O valor da integral é \( e - 1 \). 
 Explicação: Integramos a função \( e^x \) entre \( x = 0 \) e \( x = 1 \) para encontrar a área 
sob a curva. 
 
60. Problema: Encontre a área da região limitada pelas curvas \( y = \sqrt{x} 
 
 \) e \( y = x^2 \) entre \( x = 0 \) e \( x = 1 \). 
 Resposta: A área é \( \frac{1}{2} \) unidades quadradas. 
 Explicação: Subtraímos as duas funções e integramos o resultado entre \( x = 0 \) e \( x = 
1 \) para encontrar a área. 
 
61. Problema: Determine a derivada de \( f(x) = \cos(x) \). 
 Resposta: A derivada é \( f'(x) = -\sin(x) \). 
 Explicação: Utilizamos a regra da cadeia para derivar \( \cos(x) \). 
 
62. Problema: Resolva a equação \( \log_3(x + 2) = 2 \). 
 Resposta: A solução é \( x = 7 \). 
 Explicação: Convertemos a equação logarítmica para forma exponencial e resolvemos 
para \( x \). 
 
63. Problema: Encontre a interseção da reta \( y = \frac{3}{2}x - 1 \) com o eixo \( y \). 
 Resposta: A interseção é o ponto \( (0, -1) \). 
 Explicação: Quando \( x = 0 \), \( y = \frac{3}{2}(0) - 1 = -1 \), então a reta intercepta o eixo 
\( y \) em \( (0, -1) \). 
 
64. Problema: Determine a área da região limitada pela curva \( y = \ln(x) \) e o eixo \( x \) 
entre \( x = 1 \) e \( x = e \). 
 Resposta: A área é \( e - 1 \) unidades quadradas. 
 Explicação: Integramos a função \( \ln(x) \) entre \( x = 1 \) e \( x = e \) para encontrar a 
área.