Matematica todos os anos (142)

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Resposta: A solução geral é \( y = C_1 \cos(2x) + C_2 \sin(2x) \), onde \( C_1 \) e \( C_2 \) 
são constantes arbitrarias. 
 Explicação: A equação característica associada é \( r^2 + 4 = 0 \), que tem raízes 
imaginárias \( r = \pm 2i \), então a solução geral é da forma \( 
 
 y = C_1 \cos(2x) + C_2 \sin(2x) \). 
 
91. Problema: Calcule o valor de \( \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos(x) \, dx \). 
 Resposta: O valor da integral é \( 1 \). 
 Explicação: Integramos a função \( \cos(x) \) entre \( x = 0 \) e \( x = \frac{\pi}{2} \) para 
encontrar a área sob a curva. 
 
92. Problema: Encontre a área da região limitada pelas curvas \( y = \sin(x) \) e \( y = \cos(x) 
\) entre \( x = 0 \) e \( x = \frac{\pi}{4} \). 
 Resposta: A área é \( \frac{\sqrt{2}}{2} \) unidades quadradas. 
 Explicação: Subtraímos as duas funções e integramos o resultado entre \( x = 0 \) e \( x = 
\frac{\pi}{4} \) para encontrar a área. 
 
93. Problema: Determine o valor de \( \lim_{{x \to 0}} \frac{\tan(x)}{x} \). 
 Resposta: O limite é 1. 
 Explicação: Utilizamos a definição de limite para avaliar a função quando \( x \) se 
aproxima de 0. 
 
94. Problema: Resolva o sistema de equações lineares: \( x + y = 3 \) e \( 2x - y = 4 \). 
 Resposta: A solução é \( x = 2 \) e \( y = 1 \). 
 Explicação: Podemos resolver o sistema usando substituição ou eliminação para 
encontrar os valores de \( x \) e \( y \). 
 
95. Problema: Encontre a equação da reta tangente à curva \( y = e^x \) no ponto \( (0, 1) \). 
 Resposta: A equação da tangente é \( y = x + 1 \). 
 Explicação: Calculamos a derivada da função para encontrar a inclinação da tangente 
no ponto dado e, em seguida, usamos a equação da reta para encontrar a equação da 
tangente.