Problemas de Geometria e Cálculo

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59. Problema: Determine a equação da elipse com focos em \( (-3, 0) \) e \( (3, 0) \) e eixo 
maior de comprimento 8. 
 Resposta: A equação da elipse é \( \frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{12} = 1 \ 
 
). 
 Explicação: Utilizamos a definição da elipse e o comprimento do eixo maior para 
encontrar a equação. 
 
60. Problema: Calcule o volume do sólido gerado pela rotação da região limitada pela 
curva \(y = x\) e o eixo x entre \(x = 0\) e \(x = 1\) em torno do eixo y. 
 Resposta: O volume é \( \frac{\pi}{2} \) unidades cúbicas. 
 Explicação: Utilizamos o método dos discos ou do anel para encontrar o volume de 
revolução. 
 
61. Problema: Encontre a área da região limitada pelas curvas \(y = \sin(x)\) e \(y = \cos(x)\) 
entre \(x = 0\) e \(x = \frac{\pi}{2}\). 
 Resposta: A área é 1 unidade quadrada. 
 Explicação: Utilizamos o cálculo de integrais definidas para encontrar a área entre as 
duas curvas. 
 
62. Problema: Determine a equação da parábola com vértice em (1, -3) e diretriz \(y = 5\). 
 Resposta: A equação da parábola é \( x = \frac{1}{8}(y+3)^2 + 1 \). 
 Explicação: Utilizamos a definição da parábola para encontrar a equação, onde a 
distância entre o vértice e um ponto da parábola é igual à distância entre esse ponto e a 
diretriz. 
 
63. Problema: Calcule a área da região limitada pela curva \(y = e^x\) entre \(x = 0\) e \(x = 
1\). 
 Resposta: A área é \( e - 1 \) unidades quadradas. 
 Explicação: Utilizamos o cálculo de integrais definidas para encontrar a área sob a 
curva. 
 
64. Problema: Determine a equação da elipse com foco em \( (1, -2) \) e \( (1, 2) \) e eixo 
menor de comprimento 6. 
 Resposta: A equação da elipse é \( \frac{(x-1)^2}{4} + \frac{y^2}{9} = 1 \).