Problemas de Matemática

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Resposta: A área é aproximadamente \( 1.718 \). Calculamos a diferença entre as 
integrais das duas funções no intervalo dado. 
 
67. Problema: Resolva a equação \( \log(x) + \log(3) = 2 \). 
 Resposta: \( x = 30 \). Aplicamos propriedades dos logaritmos para resolver a equação. 
 
68. Problema: Determine a solução para a inequação \( x^3 - 2x^2 - x \leq 0 \). 
 Resposta: A solução é \( -1 \leq x \leq 0 \) ou \( x \geq 2 \). Encontramos os intervalos 
onde a função é negativa. 
 
69. Problema: Calcule \( \lim_{x \to \infty} \frac{2x^3 - 3x^2 + 1}{3x^3 + 2x + 5} \). 
 Resposta: O limite é \( \ 
 
frac{2}{3} \). Podemos simplificar a expressão dividindo todos os termos por \( x^3 \). 
 
70. Problema: Encontre a derivada de \( f(x) = \frac{\cos(x)}{x^2} \). 
 Resposta: A derivada é \( f'(x) = \frac{-x\sin(x) - 2\cos(x)}{x^3} \). Usamos a regra do 
quociente e a derivada do cosseno. 
 
71. Problema: Determine a integral indefinida de \( g(x) = \frac{1}{\sin^2(x)} \). 
 Resposta: A integral é \( -\cot(x) + C \), onde \( C \) é a constante de integração. 
 
72. Problema: Resolva a equação \( 2^{3x} = 16 \). 
 Resposta: \( x = \frac{2}{3} \). Aplicamos logaritmos para encontrar o valor de \( x \). 
 
73. Problema: Determine os valores de \( x \) que satisfazem a inequação \( x^3 - 4x^2 + 4x 
\leq 0 \). 
 Resposta: A solução é \( 0 \leq x \leq 2 \). Encontramos os intervalos onde a função é 
negativa. 
 
74. Problema: Calcule \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin(4x)}{x} \). 
 Resposta: O limite é \( 4 \). Isso é um resultado fundamental em cálculo.