Problemas e Respostas de Cálculo

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84. Problema: Calcule \( \lim_{x \to 0} \frac{\tan(3x)}{x} \). 
 Resposta: O limite é \( 3 \). Isso é um resultado fundamental em cálculo. 
 
85. Problema: Encontre a derivada de \( y = \frac{\sin^2(x)}{x} \). 
 Resposta: A derivada é \( y' = \frac{2x\sin(x)\cos(x) - \sin^2(x)}{x^2} \). Usamos a regra do 
quociente e a derivada do seno. 
 
86. Problema: Determine a área entre as curvas \( y = \cos(x) \) e \( y = x^2 \) no intervalo \( 
[0, \frac{\pi}{2}] \). 
 Resposta: A área é aproximadamente \( 0.294 \). Calculamos a diferença entre as 
integrais das duas funções no intervalo dado. 
 
87. Problema: Resolva a equação \( \log(x) - \log(4) = 1 \). 
 Resposta: \( x = 40 \). Aplicamos propriedades dos logaritmos para resolver a equação. 
 
88. Problema: Determine a solução para a inequação \( x^3 - 5x^2 + 6x \geq 0 \). 
 Resposta: A solução é \( x \leq 0 \) ou \( x \geq 2 \). Encontramos os intervalos onde a 
função é positiva. 
 
89. Problema: Calcule \( \lim_{x \to \infty} \frac{3x^3 - 2x^2 + 1}{2x^3 + 5} \). 
 Resposta: O limite é \( \frac{3}{2} \). Podemos simplificar a expressão dividindo todos os 
termos por \( x^3 \). 
 
90. Problema: Encontre a derivada de \( f(x) = \frac{\tan(x)}{x^2} \). 
 Resposta: A derivada é \( f'(x) = \frac{x\sec^2(x) - 2\tan(x)}{x^3} \). Usamos a regra do 
quociente e a derivada da tangente. 
 
91. Problema: Determine a integral indefinida de \( g(x) = \frac{1}{\sin(x)} \). 
 Resposta: A integral é \( \ln|\csc(x) + \cot(x)| + C \), 
 
 onde \( C \) é a constante de integração.