'-_-' Nota 10 - Semana 7 - Álgebra Linear e Geometria Analítica - Semana 7 - Atividade Avaliativa UNIVESP - 1,2024 - Engenharia de Produção

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Fazer teste: Semana 7 - Atividade Avaliativa 
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A noção de subespaço vetorial está intimamente ligada ao conceito de espaço vetorial.
Se W é um subconjunto de um espaço vetorial V e se W em si é um espaço vetorial (que herda as operações de adição e multiplicação por um escalar de V ), então dizemos que W é um subespaço de V . Com base nessas informações, considere as afirmações a seguir.
Sobre o que foi apresentado, analise as asserções a seguir e as relações propostas entre elas.
 
I. O conjunto W de vetores (x ,y ) com origem em ( 0, 0) e apontando para (x ,y ) ) com x ≥ 0 e y ≥ 0 é um subespaço de R 2.
PORQUE
II. W não é fechado sob multiplicação: o vetor →u = ( 2,2) está em W , mas o vetor − u ⃗ = ( − 2, − 2) (obtido ao multiplicar pelo número real − 1) não está em W .
A respeito dessas asserções, assinale a alternativa correta.
a. As asserções I e II são proposições verdadeiras, mas a II não é uma justificativa da I.
b. A asserção I é uma proposição falsa, e a II é uma proposição verdadeira.
c. As asserções I e II são falsas.
d. As asserções I e II são proposições verdadeiras, e a II é uma justificativa da I.
e. A asserção I é uma proposição verdadeira, e a II é uma proposição falsa.
PERGUNTA 1 1,68 pontos   Salva
Transformações lineares agem em espaços vetoriais e possuem diversas aplicações práticas. O estudo de transformações lineares nos possibilita descrever, matematicamente, por exemplo, a imagem obtida ao rotacionar uma figura, ou como mudar as dimensões de uma figura qualquer.
 
Dois estudantes de matemática conversam sobre transformações lineares. Um deles propõe que existe uma transformação linear T:R 3→ R 2 tal que:
T ( 1, 0, 1) = ( 1, − 1)
T ( 1, 1, − 1) = ( 1,2)
T ( 3, 2, − 1) = ( 3,3) .
 
Selecione a alternativa correta a respeito da transformação T proposta pelo estudante.
a. T pode ser uma reflexão.
b.T não descreve uma transformação linear.
c. T é um cisalhamento positivo em x
d.T é uma composição de transformações.
e. é uma rotação.
PERGUNTA 2
T
1,68 pontos   Salva
Assinale a opção que apresenta a equação da reta que é um subespaço vetorial do ℝ3
a. ⎧
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
x = 1− t
y = 1− 2t
z = 1+ 5t
b. ⎧
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
x = 7
y = − 2t
z = 3t
c. ⎧
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
x = 2
y = 6
z = t
d. ⎧
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
x = 2+ t
y = 1− 2t
z = 4+ t
e. ⎧
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
x = t
y = − 2t
z = 3t
PERGUNTA 3 1,66 pontos   Salva
Transformações lineares T: V → W são um tipo de operação matemática que toma um vetor pertencente ao espaço V como entrada, e gera um vetor pertencente ao espaço W . As transformações lineares são lineares no sentido de que o vetor de saída é uma combinação linear dos componentes do vetor de entrada.
Transformações lineares são usadas em muitas áreas, incluindo álgebra linear, cálculo e física. Exemplos de transformações lineares incluem rotação, reflexão e cisalhamento.
É dada a transformação linear:
T:R 2→ R
(x ,y ) ↦ T (x ,y ) = 3x + 2y .
Diante disso, assinale a alternativa que apresenta o núcleo da transformação linear T .
 
a. O núcleo de T é (x ,y ) . 
b. O núcleo de T é igual a 0.
c. O núcleo de T é o ponto (0, 0).
d.
O núcleo de T é a reta y = − 3
2
x . .
e. O núcleo de T é o vetor nulo do R 2.
PERGUNTA 4 1,66 pontos   Salva
As transformações lineares são um tipo de operação matemática que age em elementos de um espaço vetorial. Exemplos de transformações lineares incluem dimensionamento (que pode ser expansão ou compressão), rotação, reflexão e cisalhamento.
Com relação ao texto apresentado, observe as afirmativas a seguir.
 
I. Toda transformação linear obedece T ( u ⃗ + v ⃗ ) = T ( u ⃗ ) + T (v ⃗ ) .
II. Toda transformação linear obedece T (ku ⃗ ) =k T ( u ⃗ ) , sendo k um número real.
III. Toda transformação linear obedece T ( u ⃗ v ⃗ ) = T ( u ⃗ ) T (v ⃗ ) .
IV. Algumas transformações lineares não podem ser caracterizadas por uma matriz.
 
Está correto o que se afirma em:
a. I, II e IV, apenas
b. I e III, apenas
c. III e IV, apenas
d. II e IV, apenas
e. I e II, apenas
PERGUNTA 5 1,66 pontos   Salva
Uma transformação linear é uma função de um espaço vetorial para outro que respeita a estrutura subjacente de cada espaço vetorial. Transformações lineares são úteis porque preservam a estrutura de um espaço vetorial. Esse fato nos garante que o núcleo e a imagem de uma transformação linear são subespaços
vetoriais.
É dada uma transformação linear T:R n → R m
Selecione a alternativa que traz a definição correta do núcleo dessa transformação T .
a.
Um elemento X de R m está no núcleo de T se T ( X) =
→
0 , sendo 
→
0 o vetor nulo do R n .
b.
Um elemento X de R m está no núcleo de T se T ( X) = X .
c. Um elemento X de está no núcleo de R m se T ( X) =
→
0 , sendo 
→
0 o vetor nulo do R m .
d.
Um elemento X de R n está no núcleo de T se T ( X) =
→
0 , sendo 
→
0 o vetor nulo do R m .
e.
Um elemento X de R n está no núcleo de T se T ( X) = X.
PERGUNTA 6 1,66 pontos   Salva
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 Estado de Conclusão da Pergunta: