Géometria Analitica e algebra vetorial

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Disciplina:
	Geometria Analítica e Álgebra Vetorial (EMC02)
	Avaliação:
	Avaliação II - Individual Semipresencial ( Cod.:006381) ( peso.:1,50)
	Prova:
	25494229
	Nota da Prova:
	8,00
	
	
Legenda:  Resposta Certa   Sua Resposta Errada  
Parte superior do formulário
	1.
	A figura que segue, apresenta um losango EFGH inscrito em um retângulo ABCD. Sabe-se também que os vértices do losango são os pontos médios do retângulo. Como é de conhecimento também, cada segmento de reta que é criado com todas estas intersecções pode ser considerado como sendo as extremidades de um vetor. Sobre o exposto, classifique V para as sentenças verdadeiras e F para as falsas e, em seguida, assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA:
	
	 a)
	V - F - V - V - F.
	 b)
	F - V - V - F - V.
	 c)
	F - V - F - V - F.
	 d)
	V - V - F - F - V.
	2.
	Com relação às transformações lineares, é importante determinar corretamente conceitos de núcleo, imagem, juntamente a suas respectivas dimensões para um entendimento teórico do problema encontrado. Baseado nisto, considere T, um operador linear de R³ em R³:
T(x,y,z) = (z, x - y, -z)
Assinale a alternativa CORRETA que melhor apresenta a dimensão da Imagem deste operador:
	 a)
	3.
	 b)
	0.
	 c)
	1.
	 d)
	2.
Parabéns! Você acertou a questão: Parabéns! Você acertou!
	3.
	Em geometria, paralelismo é uma noção que indica se dois objetos (retas ou planos) estão na mesma direção. Ao trabalhar com a noção de espaço vetorial, duas retas são paralelas se  existe um plano que as contém, e se essas retas não se tocam. Assim, elas estão na mesma direção mesmo que estejam em sentidos opostos. Para vetores, o princípio é basicamente o mesmo. Sobre o exposto, analise as sentenças a seguir:
I- Os vetores (2,-1,4) e (6,-3,12) são paralelos.
II- Os vetores (1,-2,4) e (2,-2,5) são paralelos.
III- Os vetores (3,1,2) e (6,-2,1) são paralelos.
IV- Os vetores (1,-1,2) e (2,-2,4) são paralelos.
Assinale a alternativa CORRETA:
	 a)
	As sentenças II e III estão corretas.
	 b)
	As sentenças I e III estão corretas.
	 c)
	As sentenças I e IV estão corretas.
	 d)
	Somente a sentença I está correta.
Parabéns! Você acertou a questão: Parabéns! Você acertou!
	4.
	Ao falar das aplicações do cálculo dos autovetores e autovalores de uma matriz, podemos colocar as soluções de equações diferenciais que são de interesse físico, como as frequências naturais de vibração de um instrumento musical, ou de uma simples corda esticada. No entanto, anteriormente a isto, devemos compreender corretamente este conceito para que as futuras aplicações sejam corretas. Assinale a alternativa CORRETA que apresenta o conceito de autovetor de transformação:
	 a)
	É um número real que multiplica o vetor após a transformação.
	 b)
	É um número real que anula a transformação.
	 c)
	É um vetor que gera uma base do núcleo da transformação.
	 d)
	É um vetor que após aplicado à transformação resulta num múltiplo de si mesmo.
	5.
	Pela definição de vetor, sabemos que dados dois pontos e um sentido, podemos determinar o vetor que liga estes dois pontos e possui a direção indicada. Através deste processo podemos mais tarde ter um apoio no estudo das retas e planos no espaço. Baseado nisso, assinale a alternativa CORRETA que apresenta o vetor u definido pelos pontos A = (1,0,-3) e B = (2,4,1), no sentido de A para B:
	 a)
	u = (0,4,4).
	 b)
	u = (1,4,4).
	 c)
	u = (1,4,2).
	 d)
	u = (1,4,-2).
	6.
	Em Matemática, uma transformação linear é um tipo particular de função entre dois espaços vetoriais que preserva as operações de adição vetorial e multiplicação por escalar. Uma transformação linear também pode ser chamada de aplicação linear ou mapa linear. A respeito das transformações lineares, analise as opções a seguir:
I- T(x,y) = (x² , y²).
II- T (x,y) = (2x, - x + y).
III- T (x,y) = (- x + y, x - 1).
IV- T (x,y) = (x, x - y).
Assinale a alternativa CORRETA:
	 a)
	As opções II e IV estão corretas.
	 b)
	Somente a opção IV está correta.
	 c)
	As opções III e IV estão corretas.
	 d)
	As opções I e III estão corretas.
Você não acertou a questão: Atenção! Está não é a resposta correta.
	7.
	A noção comum de vetores como objetos com tamanho, direção e sentido, com as operações de adição e multiplicação por números reais forma a ideia básica de um espaço vetorial. Deste ponto de partida então, para definirmos um espaço vetorial, precisamos de um conjunto, uma operação de adição de elementos deste conjunto, e uma operação de multiplicação de escalares (por exemplo, números reais) por elementos deste conjunto. A respeito das propriedades dos espaços vetoriais, classifique V para as sentenças verdadeiras e F para as falsas:
(    ) Os espaços vetoriais preservam as operações de soma e multiplicação por escalar.
(    ) Os espaços vetoriais de podem ser imaginados como domínio de contradomínio de operações lineares.
(    ) A base de um espaço é um conjunto LI que gera todos os elementos de um espaço.
(    ) A base de um espaço é um conjunto LD que gera todos os elementos de um espaço.
Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA:
	 a)
	F - V - V - F.
	 b)
	V - F - V - F.
	 c)
	V - V - V - F.
	 d)
	V - V - F - F.
	8.
	Em matemática, o produto vetorial é uma operação binária sobre vetores em um espaço vetorial. Seu resultado difere do produto escalar por ser também um vetor, ao invés de um escalar. Seu principal uso baseia-se no fato de que o resultado de um produto vetorial é sempre perpendicular a ambos os vetores originais. Quanto ao resultado do produto escalar entre u = (1,-2,3) e v = (0,2,1), classifique V para as opções verdadeiras e F para as falsas:
(    ) u x v = -2.
(    ) u x v = -1.
(    ) u x v = 0.
(    ) u x v = 1.
Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA:
	 a)
	F - F - F - V.
	 b)
	V - F - F - F.
	 c)
	F - F - V - F.
	 d)
	F - V - F - F.
	9.
	O núcleo de uma transformação linear, como já é de conhecimento, trata-se do conjunto de vetores do domínio que possuem representantes no contradomínio com valor nulo. Uma de suas principais aplicações na Álgebra Linear e Vetorial é a possibilidade de definir se uma aplicação possui a propriedade da injetividade. Observando os vetores que pertencem ao núcleo da transformação T(x,y) = (x-y, y-x).
I- v = (1,1).
II- v = (0,1).
III- v = (-2,-2).
IV- v = (1,0).
Assinale a alternativa CORRETA:
	 a)
	As opções II e IV estão corretas.
	 b)
	As opções I e IV estão corretas.
	 c)
	As opções I e III estão corretas.
	 d)
	As opções II e III estão corretas.
Parabéns! Você acertou a questão: Parabéns! Você acertou!
	10.
	Uma transformação linear pode ser compreendida e associada ao estudo de funções, que normalmente já conhecemos desde o Ensino Médio. Isto se deve ao fato de uma transformação linear ligar dois conjuntos através de uma lei de formação. A grande diferença é que uma transformação opera com vetores e não com números reais como de costume. Baseado na transformação linear de R³ em R³ dada por T(x,y,z) = (x + y, 2x, y - z), classifique V para as sentenças verdadeiras e F para as falsas:
(    ) Uma base para a imagem desta transformação é [(1,2,0),(1,0,1),(0,0,1)].
(    ) A sua imagem tem dimensão 2.
(    ) O núcleo da transformação possui apenas o vetor nulo.
(    ) A dimensão do domínio da transformação é 3.
Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA:
	 a)
	V - F - V - V.
	 b)
	V - V - F - F.
	 c)
	V - V - F - V.
	 d)
	F - V - F - V.