teorema de Pitágoras

Prévia do material em texto

“principal”
2010/4/19
page 61
Estilo OBMEP
i
i
i
i
i
i
i
i
N SEC. 3.1: CAPÍTULO 1 61
18) Sejam m e n, base e altura do retângulo. Pelo enunciado temos
m+n = 12 e mn = 25. Portanto, o problema consiste em determi-
nar graficamente dois números, conhecendo sua soma
e seu produto. Observe que resolver este sistema equivale a
construir um triângulo retângulo conhecendo sua hipotenusa e
sua altura. Como a hipotenusa é a = m + n = 12 e a altura é
h =
√
mn =
√
25 = 5, desenhamos uma semicircunferência de
diâmetro BC = a = 12 cm e uma paralela distando 5 cm desse
diâmetro. A interseção dessa paralela com a circunferência nos dá
o vértice A do ângulo reto do triângulo. O ponto H, projeção de
“principal”
2010/4/19
page 62
Estilo OBMEP
i
i
i
i
i
i
i
i
62 � CAP. 3: SOLUÇÕES DOS PROBLEMAS
A sobre BC, fornece os segmentos BH = m e HC = n que são as
medidas do retângulo que procuramos.
19) A figura a seguir mostra dois triângulos retângulos justapostos. O
Teorema de Pitágoras, usado duas vezes, fornece x = a
√
14.
20) Veja que x =
√
(
a
√
2
)2
+
(
a
√
3
)2
. Portanto, x é a hipotenusa
de um triângulo retângulo cujos catetos medem a
√
2 e a
√
3.
21)
Nestas figuras, u é um segmento qualquer. Construindo a primei-
ra figura, encontramos m =
a2
u
e construindo a segunda, n =
b2
u
.
Construindo agora um triângulo retângulo cujos catetos são m e
n, temos sua hipotenusa que é
t =
√
a4
u2
+
b4
u2
=
1
u
√
a4 + b4.