teorema de Pitágoras

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24 2.2. Demonstrações mais Geométricas
Em seguida, “fechou” a figura formando o trapézio retângulo ACED, constituí-
do de dois triângulos (△ABC e △DBE), feitos anteriormente e um novo triângulo
foi formado, △CBE.
Nos triângulos △ABC e △DBE, sabemos que α + β = 90◦, pois a soma dos
ângulos internos de qualquer triângulo é 180◦ e já temos um ângulo de 90◦.
Ao observamos os três ângulos, α, β e θ, em torno do ponto B vemos que sua
soma é 180◦. Portanto, CB̂E = 90◦, e consequentemente, o triângulo △CBE
também é retângulo.
Podemos observar que os três triângulos juntos formaram um trapézio retângulo
de altura b+c e bases b e c. Para calcular a área deste trapézio temos duas maneiras:
(a) Calcular a área de cada triângulo da figura e somá-las.
(b) Calcular diretamente através da fórmula da área do trapézio.
Sabemos, é claro, que em qualquer opção escolhida o resultado deverá ser o
mesmo.
Pelo item (a) obtemos:
área(△ABC) + área(△DBE) + área(△CBE) = 2 · b · c
2
+
a · a
2
= b · c+ a2
2
.
Já pelo item (b), obtemos:
(b+ c) · (b+ c)
2
=
(b+ c)2
2
.
Igualando as duas expressões encontradas, temos
b · c+ a2
2
=
(b+ c)2
2
⇐⇒ 2bc+ a2 = b2 + 2bc+ c2 ⇐⇒ a2 = b2 + c2,
demonstrando o Teorema de Pitágoras.
2.2 Demonstrações mais Geométricas
Nesta seção apresentamos demonstrações que utilizam diferentes argumentos
geométricos, como propriedades de uma circunferência, altura de um triângulo
25 2.2. Demonstrações mais Geométricas
retângulo, construção de perpendicular e paralela, entre outros, para provar o
Teorema. Assim, diremos que essas demonstrações são mais geométricas.
2.2.1 Utilizando uma Circunferência
A partir do triângulo △ABH, retângulo em H e lado AB = h, traça-se uma
circunferência de centro A, e raio AH.Denota-se por C o ponto de intersecção de
AB com esta circunferência. O que está ilustrado na figura 2.6 a seguir.
H
D C BA
b
b
h
b + h
Figura 2.6: Circunferência a partir do triângulo △ABH
Podemos afirmar que o triângulo △BHC é semelhante ao triângulo △BDH,
pois o ângulo Ĥ e D̂ dos triângulos correspondem à metade da medida do arco
CH e, ainda, eles possuem um ângulo em comum, B̂.
Assim, teremos
BH
BD
=
BC
BH
, como BD = h + b e BC = hb, substituindo na
proporcionalidade acima obtemos:
a
h+ b
=
h− b
a
⇐⇒ a2 = (h+ b)(h− b) = h2 − b2 ⇐⇒ a2 + b2 = h2,
que demonstra o Teorema de Pitágoras.
2.2.2 Utilizando Trigonometria
Seja o triângulo retângulo △ABC, retângulo em A, onde traçamos a altura
AH relativa ao lado BC.