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FUNDAMENTOS DA ALGEBRA AULA 07 – Tipos de anéis e propriedades 
*Tipos de anéis 
Vamos começar esta aula conhecendo dois tipos de anéis. São eles: Anel Comutativa :Seja A um anel munido das operações de adição (+) e multiplicação (.), (𝐴,+,⋅). Esse anel será denominado anel comutativo se a operação de multiplicação (.) for comutativa, ou seja, se xy = yx, ∀x,y∈𝐴. 
Veja um exemplo: 
São anéis comutativos: 
a) (𝛧,+,⋅) anel dos números inteiros; b) (ℜ,+,⋅) anel dos números reais; c) (𝑄,+,⋅) anel dos números racionais; d) (𝐶,+,⋅) anel dos números complexos; e) (𝑅𝑅,+,⋅) anel dos números complexos; d) (𝑍𝑚,+,⋅) anel dos números complexos.
Anel com Unidade :Seja A um anel munido das operações de adição (+) e multiplicação (.), (𝐴,+,⋅) . 
Esse anel é denominado anel com unidade ou anel unitário se existir 1𝐴∈𝐴 tal que 1𝐴.𝑥=𝑥.1𝐴=𝑥, ∀𝑥∈𝐴. Em outras palavras, podemos dizer que um anel com unidade é um anel A cuja operação de multiplicação possui um elemento neutro, que chamamos 1A ou, simplesmente, 1. Ele é denominado a unidade do anel. 
Veja um exemplo: 
O número 1 é a unidade dos anéis a seguir. Logo, eles são anéis com unidade: 
a) (𝛧,+,⋅) anel dos números inteiros; b) (ℜ,+,⋅) anel dos números reais; c) (𝑄,+,⋅) anel dos números racionais; d) (𝐶,+,⋅) anel dos números complexos.
 
Proposições dos anéis Comutativos e com Unidade
Agora, vejamos algumas proposições envolvendo os anéis comutativos e os anéis com unidade:
I –Se (A,+, .) é um anel comutativo, então (AK, +, .) é comutativo.
II- Se (A,+, .) é um anel com unidade, então (AK, +, .) tem unidade.
III-Se (A,+, .) é um anel com unidade, então, (Mnxn(A),+, .) tem unidade. Verificamos que a matriz identidade é a unidade do anel das matrizes.
IV- (Zm , +, .) é um anel comutativo com unidade.
V-Sejam os anéis (𝐴,∗,Δ) e (𝐵,+,⋅).
(I) Se 𝐴 e 𝐵 são anéis com unidade, então, 𝐴 x 𝐵 tem unidade.
(II) Se 𝐴 e 𝐵 são comutativos, então, 𝐴 x 𝐵 é comutativo. 
Propriedades dos anéis
Podemos definir as propriedades dos anéis por meio da seguinte proposição:
Se (A, + ,⋅ ) é um anel e x,y,z ∈A, então,
I. O zero é único
II. O simétrico é único
III. x ⋅ 0 = 0 ⋅ x = 0 
IV. −(x + y) = (−x) + (−y) 
V. −(−x) = x 
VI. x + y = x + z, então, y = z
VII. −(xy) = (−x)y = x(−y)
VIII. x(y −z) = xy – xz
IX. (x − y)z = xz − yz
X. (−x)(−y) = xy 
XI. A equação x + z = y tem solução única x = y – z
Potências de um anel
Você já sabe quais são as propriedades de um anel. Agora vamos conhecer as suas potências. Veja a definição:
Seja (A,+, .) um anel com as operações de adição (+) e multiplicação (.). Dado um elemento a do anel e 𝑛∈𝑁∗, 𝑛≠0. Definimos a n-ésima potência de um elemento a de um anel A, denotado por an, da seguinte forma: a1=a an=an-1 . a se n ˃1
Atenção ! Quando o anel (A,+, .) possui unidade, também podemos definir a0 = 1.
Proposição de potências de um anel
Como consequência imediata da definição de potências de um anel, podemos definir a seguinte proposição: Sejam (A,+, .) um anel, 𝑎,𝑏∈𝐴 𝑒 𝑚,𝑛∈𝑁∗. Então,
I-∀𝑎∈𝐴,∀𝑚,𝑛∈𝑁∗, 𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑎𝑚. 𝑎𝑛=𝑎𝑚+𝑛
Por indução sobre n, verificamos que:
Para n = 1 temos 𝑎𝑚. 𝑎𝑛=𝑎𝑚. 𝑎1=𝑎𝑚. 𝑎=𝑎𝑚+1 
A propriedade é válida para n = 1.
Agora, vamos considerar verdadeiro para n = k ≥ 1.
 𝑎𝑚. 𝑎𝑘=𝑎𝑚+𝑘
Vejamos que é válido para n = k + 1.
𝑎𝑚. 𝑎𝑘+1=𝑎𝑚.(𝑎𝑘.𝑎1)=(𝑎𝑚.𝑎𝑘).𝑎1)=𝑎𝑚+𝑘.𝑎1=𝑎𝑚+𝑘+1 =𝑎𝑚+(𝑘+1)
II-∀𝑎∈𝐴,∀𝑚,𝑛∈𝑁∗, 𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠 (𝑎𝑚 )𝑛=𝑎𝑚𝑛
Por indução sobre n, verificamos que:
Para n = 1, temos (𝑎𝑚 )𝑛=(𝑎𝑚 )1= 𝑎𝑚=𝑎(𝑚.1).
Veja que a propriedade é válida para n = 0.
Agora, vamos considerar verdadeiro para n = k ≥ 1.
 𝑎𝑚𝑘=(𝑎𝑚 )𝑘=𝑎𝑚𝑘
Vejamos que é válido para n = k + 1.
 (𝑎𝑚 )𝑘+1=(𝑎𝑚 )𝑘 (𝑎𝑚 )1=𝑎𝑚𝑘 𝑎𝑚.1=𝑎𝑚𝑘+𝑚.1=𝑎𝑚(𝑘+1)
III-∀𝑎∈𝐴, ∀𝑚,𝑛∈𝑁∗, 𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠 (𝑎𝑏)𝑛=𝑎𝑛 𝑏𝑛 , quando ab = ba
Por indução sobre n, verificamos que:
Para n = 1, temos (𝑎𝑏)𝑛=(𝑎𝑏)1=𝑎𝑏=𝑎1 𝑏1 
A propriedade é válida para n = 1.
Agora, vamos considerar verdadeiro para n = k ≥ 1.
(𝑎𝑏)𝑛=(𝑎𝑏)𝑘=𝑎𝑘 𝑏𝑘 quando ab = ba. 
Vejamos que é válido para n = k + 1.
 (𝑎𝑏)𝑘+1=(𝑎𝑏)𝑘 (𝑎𝑏)1=𝑎𝑘 𝑏𝑘 𝑎1 𝑏1=𝑎𝑘 𝑎1 𝑏𝑘 𝑏1=𝑎𝑘+1 𝑏𝑘+1
Comentário Observe que, se o anel A possui unidade, a proposição anterior é válida para quaisquer elementos m e n em N. Veja que, se n = 0, teremos: 𝑎𝑚 𝑎0=𝑎𝑚.1=𝑎𝑚=𝑎𝑚+0(𝑎𝑚 )0=1=𝑎0=𝑎𝑚.0 (𝑎𝑏)0=1=1.1=𝑎0.𝑏0 Além disso, podemos considerar que, dado um elemento a do anel A, existe um elemento 𝑎−1∈𝐴 e podemos definir 𝑛−𝑛=(𝑎−1 )𝑛, 𝑛∈𝑁. Veja que é possível verificar para 𝑚,𝑛∈𝑍 que • 𝑎𝑚.𝑎𝑛=𝑎𝑚+𝑛 • (𝑎𝑚 )𝑛=𝑎𝑚𝑛	 Se 𝑎𝑏∈𝐴 e ab = ba, então, (𝑎𝑏)𝑛=𝑎𝑛 𝑏𝑛 .
Múltiplo de um anel Para finalizarmos, vamos conhecer a definição de múltiplo de um anel. Veja: Seja (A,+, .) um anel com as operações de adição (+) e multiplicação (.). Dado um elemento a do anel e 𝑛∈𝑍. Define-se o múltiplo de a com coeficiente m, denotado por ma, como sendo o elemento de A definido por recorrência do seguinte modo: • 0.m = 0 • m.a = (m - 1).a + a, se m ≥ 1 • m.a = (-m)(-a), se m < 0
Essa definição nos leva à seguinte proposição: Seja A um anel, 𝑎,𝑏∈𝐴 𝑒 ∀𝑚,𝑛∈𝑍 temos:
	I: (m + n)a = ma + na
Seja A um anel, 𝑒  𝑚,𝑛∈𝑍.
Por indução sobre n, verificamos que:
Para n = 1, temos (m + 1)a = ma + 1a (a propriedade é verdadeira).
Agora, vamos considerar verdadeiro para n = k ≥ 1.
(m + k)a = ma + ka
Vejamos que é válido para n = k + 1.
(m + k + 1) = ma + ka + 1a = ma + (ka + 1a) = ma + (k + 1)a.
	II: m(na) = (mn)a
Seja A um anel, 𝑎∈𝐴  𝑒  𝑚,𝑛∈𝑍.
Por indução sobre n, verificamos que:
Para n = 1, temos m(1a) = (m1)a (a propriedade é verdadeira).
Agora, vamos considerar verdadeiro para n = k ≥ 1.
m(ka) = (mk)a
Vejamos que é válido para n = k + 1.
m((k + 1)a) = m(ka + a) = mka + ma = (mk + m)a = (m(k+1))a.
	III: (-m)a = m(-a) = -(ma)
Seja A um anel, 𝑎∈𝐴  𝑒  𝑚∈𝑍.
(-m)a = (-1)ma = m(-1a) = m(-a) = (-a)m = (-1a)m = (-1)(am) = (-1)(ma) = -(ma)
	IV:m(a + b) = ma + mb
Seja A um anel, 𝑎,𝑏∈𝐴  𝑒  𝑚∈𝑍.
Por indução sobre m, verificamos que:
Para m = 1 temos 1(a + b) = 1a + 1b (a propriedade é verdadeira).
Agora, vamos considerar verdadeiro para m = k ≥ 1.
k(a + b) = ka + kb
Vejamos que é válido para m = k + 1.
(k + 1)(a + b) = ka + kb + 1a + 1b.
Atividade 
1 - Marque a única alternativa correta sobre os anéis com unidade.
Resposta: O anel (Zm,+, .) é um anel com unidade para m ≥ 2.
2 - Considere as seguintes afirmações: (I) Se (A,+, .) é um anel comutativo, então, (AK, +, .) é comutativo. (II) Se A e B são anéis com unidade, então, A x B não tem unidade. (III) Se (A,+, .) é um anel com unidade, então, (Mnxn(A),+, .) tem unidade. (IV) (Zm, +, .) é um anel comutativo com unidade. Com relação às afirmações, podemos concluir que: Resposta: Somente a I, a III e a IV estão corretas
3 - Identifique o anel com a soma e produto usuais, que é um anel comutativo sem unidade. Resposta: 2Z
Caderno de exercícios
01- Verifique se o conjunto Z , dotado das leis de composição * e Δ definidas a seguir, é um anel. 𝑥∗𝑦=𝑥-𝑦 𝑥Δ𝑦=𝑥𝑦
02- Verifique se Z3 x M2(Z) é um anel comutativo.
03-Verifique se o conjunto ℤ, dotado das leis de composição * e Δ definidas a seguir, é um anel comutativo com unidade. 𝑥∗𝑦=𝑥+𝑦 𝑥𝛥𝑦=0 
A operação * é a operação de adição usual, e a operação Δ é a operação de multiplicação usual. 
EXPLORE +
Para saber mais sobre os assuntos estudados nesta aula, leia os seguintes artigos:
Álgebra Abstracta ― Teoria dos Anéis. Disponível aqui.
Introdução à Teoria de Anéis. Disponível aqui.
Breve História da Álgebra Abstrata. Disponível aqui.