Problemas de Matemática

Prévia do material em texto

13. Problema: Resolva a equação \( \log(x + 3) = 2 \). 
 Resposta: \( x = e^2 - 3 \). 
 Explicação: Aplicamos a definição de logaritmo para resolver a equação. 
 
14. Problema: Calcule a integral definida de \( \int_{0}^{2} (x^2 + 1) \, dx \). 
 Resposta: \( \int_{0}^{2} (x^2 + 1) \, dx = \frac{10}{3} \). 
 Explicação: Calculamos a integral indefinida e depois substituímos os limites de 
integração. 
 
15. Problema: Determine a equação da elipse com eixo maior sobre o eixo \( x \), centrada 
na origem, com focos \( (\pm 3, 0) \) e \( b = 2 \). 
 Resposta: \( \frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} = 1 \). 
 Explicação: Utilizamos as definições da elipse e dos focos para encontrar a equação da 
elipse. 
 
16. Problema: Resolva o sistema de equações: 
 \( x^2 + y^2 = 25 \) e \( x + y = 7 \). 
 Resposta: \( (3, 4) \) e \( (4, 3) \). 
 Explicação: Substituímos \( y \) na primeira equação pela expressão dada na segunda 
equação e resolvemos a equação resultante. 
 
17. Problema: Encontre a equação da hipérbole com focos \( (\pm 5, 0 
 
) \) e \( a = 4 \). 
 Resposta: \( \frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{7} = 1 \). 
 Explicação: Utilizamos as definições da hipérbole e dos focos para encontrar a equação 
da hipérbole. 
 
18. Problema: Determine os valores de \( k \) para os quais as retas \( y = kx + 3 \) e \( y = 2x 
- k \) são perpendiculares. 
 Resposta: \( k = \pm \frac{1}{2} \). 
 Explicação: Duas retas são perpendiculares quando o produto de suas inclinações é -1.