Problemas de Cálculo Matemático

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19. Problema: Calcule a área da região limitada pela curva \( y = e^x \), o eixo \( x \) e as 
linhas \( x = 0 \) e \( x = 1 \). 
 Resposta: \( A = e - 1 \). 
 Explicação: Calculamos a integral da função \( e^x \) entre os limites \( 0 \) e \( 1 \). 
 
20. Problema: Resolva a equação diferencial \( \frac{dy}{dx} = 2x \). 
 Resposta: \( y = x^2 + C \), onde \( C \) é uma constante. 
 Explicação: Integramos ambos os lados da equação diferencial em relação a \( x \). 
 
21. Problema: Encontre a equação da parábola com vértice em \( (3, -2) \) e foco em \( (3, 
1) \). 
 Resposta: \( (y + 2)^2 = 8(x - 3) \). 
 Explicação: Utilizamos a definição geométrica da parábola para encontrar sua equação. 
 
22. Problema: Determine o domínio da função \( f(x) = \frac{1}{\sqrt{4 - x^2}} \). 
 Resposta: \( -2 \leq x \leq 2 \). 
 Explicação: O denominador não pode ser zero e a expressão dentro da raiz quadrada 
deve ser não negativa. 
 
23. Problema: Calcule a derivada segunda da função \( f(x) = e^x \). 
 Resposta: \( f''(x) = e^x \). 
 Explicação: A derivada segunda de \( e^x \) é igual a \( e^x \) novamente. 
 
24. Problema: Determine a equação da reta que passa pelos pontos \( (-1, 3) \) e \( (2, -2) 
\). 
 Resposta: \( y = -x + 2 \). 
 Explicação: Utilizamos a fórmula da equação da reta que passa por dois pontos dados. 
 
25. Problema: Resolva a equação \( \sin(x) = \frac{\sqrt{3}}{2} \) no intervalo \( [0, 2\pi] \). 
 Resposta: \( x = \frac{\pi}{3} \) e \( x = \frac{5\pi}{3} \). 
 Explicação: Identificamos os valores de \( x \) no intervalo onde \( \sin(x) \) é igual a \( 
\frac{\sqrt{3}}{2} \).