Cálculo: Integrais e Derivadas

Prévia do material em texto

15. Problema: Calcule a integral indefinida de \( \int (2\sin(x) - 3\cos(x)) \, dx \). 
 Resolução: Integramos cada termo da função separadamente. 
 Explicação: Aplicamos a regra de integração para cada termo da função. 
 
16. Problema: Encontre a derivada da função \( f(x) = \frac{1}{x^2} \). 
 Resolução: Utilizamos a regra do quociente para derivar a função. 
 Explicação: Aplicamos a regra do quociente para encontrar a derivada da função. 
 
17. Problema: Determine a equação da reta tangente à curva \( y = e^x \) no ponto \( (0,1) 
\). 
 Res 
 
olução: Calculamos a derivada de \( y = e^x \) e substituímos \( x = 0 \) para encontrar a 
inclinação da reta tangente. Em seguida, usamos a fórmula \( y - y_1 = m(x - x_1) \) para 
encontrar a equação da reta tangente. 
 Explicação: Utilizamos a definição de derivada para encontrar a inclinação da reta 
tangente e a equação da reta para encontrar a equação da reta tangente. 
 
18. Problema: Calcule o limite \( \lim_{{x \to \infty}} \frac{{3x^2 - 2x + 5}}{{4x^2 + 7x - 1}} \). 
 Resolução: Dividimos todos os termos por \( x^2 \) e identificamos o termo dominante. 
 Explicação: Utilizamos a técnica de dividir pelo termo de maior grau para determinar o 
comportamento assintótico. 
 
19. Problema: Determine a derivada da função \( f(x) = \ln(3x^2 + 2x) \). 
 Resolução: Aplicamos a regra da cadeia para derivar a função composta. 
 Explicação: Usamos a regra da cadeia para derivar a função composta. 
 
20. Problema: Encontre a área da região limitada pelas curvas \( y = \sin(x) \) e \( y = \cos(x) 
\) no intervalo \( 0 \leq x \leq \frac{\pi}{4} \). 
 Resolução: Calculamos a diferença entre as duas funções e integramos no intervalo 
dado. 
 Explicação: Utilizamos a técnica de integração para encontrar a área entre as duas 
curvas.