Problemas de Cálculo

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21. Problema: Determine os pontos de interseção das curvas \( y = 2x^2 \) e \( y = 4 - x^2 \). 
 Resolução: Igualamos as duas equações e resolvemos para \( x \) e \( y \). 
 Explicação: Encontramos os pontos onde as duas curvas se encontram. 
 
22. Problema: Calcule a integral definida de \( \int_{0}^{2} (x^3 + 2x^2 - x + 1) \, dx \). 
 Resolução: Integramos a função e aplicamos os limites de integração. 
 Explicação: Usamos a propriedade da integral definida para calcular a área sob a curva 
no intervalo dado. 
 
23. Problema: Determine a derivada da função \( f(x) = e^{-2x} \). 
 Resolução: Utilizamos a regra da cadeia para derivar a função. 
 Explicação: Aplicamos a regra da cadeia para derivar a função. 
 
24. Problema: Encontre a derivada da função \( f(x) = \frac{\sin(x)}{x} \). 
 Resolução: Utilizamos a regra do quociente para derivar a função. 
 Explicação: Aplicamos a regra do quociente para encontrar a derivada da função. 
 
25. Problema: Determine a equação da reta tangente à curva \( y = \ln(x) \) no ponto \( (1,0) 
\). 
 Resolução: Calculamos a derivada de \( y = \ln(x) \) e substituímos \( x = 1 \) para 
encontrar a inclinação da reta tangente. Em seguida, usamos a fórmula \( y - y_1 = m(x - 
x_1) \) para encontrar a equação da reta tangente. 
 Explicação: Utilizamos a definição de derivada para encontrar a inclinação da reta 
tangente e a equação da reta para encontrar a equação da reta tangente. 
 
26. Problema: Calcule o limite \( \lim_{{x \to 1}} \frac{{\ln(x)}}{{x - 1}} \). 
 Resolução: Utilizamos a regra de L'Hôpital para resolver o limite indeterminado. 
 Explicação: Utilizamos a regra de L'Hôpital para lidar com formas indeterminadas. 
 
27. Problema: Determine a derivada segunda da função \( f(x) = x^3 - 4x^2 + 6x - 2 \). 
 Resolução: Derivamos \( f(x) \) duas vezes para encontrar a segunda derivada.