Problemas de Cálculo

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65. Problema: Determine os pontos de interseção das curvas \( y = \sqrt{x} \) e \( y = \tan(x) 
\). 
 Resolução: Igualamos as duas equações e res 
 
olvemos para \( x \) e \( y \). 
 Explicação: Encontramos os pontos onde as duas curvas se encontram. 
 
66. Problema: Calcule a integral definida de \( \int_{0}^{\pi} (\sin(x) + \cos(x)) \, dx \). 
 Resolução: Integramos a função e aplicamos os limites de integração. 
 Explicação: Usamos a propriedade da integral definida para calcular a área sob a curva 
no intervalo dado. 
 
67. Problema: Determine a derivada da função \( f(x) = \frac{\sin(x)}{x^2} \). 
 Resolução: Utilizamos a regra do quociente para derivar a função. 
 Explicação: Aplicamos a regra do quociente para encontrar a derivada da função. 
 
68. Problema: Determine a equação da reta tangente à curva \( y = \sqrt{x} \) no ponto \( 
(1,1) \). 
 Resolução: Calculamos a derivada de \( y = \sqrt{x} \) e substituímos \( x = 1 \) para 
encontrar a inclinação da reta tangente. Em seguida, usamos a fórmula \( y - y_1 = m(x - 
x_1) \) para encontrar a equação da reta tangente. 
 Explicação: Utilizamos a definição de derivada para encontrar a inclinação da reta 
tangente e a equação da reta para encontrar a equação da reta tangente. 
 
69. Problema: Calcule o limite \( \lim_{{x \to 0}} \frac{{\tan(x)}}{x^2} \). 
 Resolução: Utilizamos a regra de L'Hôpital para resolver o limite indeterminado. 
 Explicação: Utilizamos a regra de L'Hôpital para lidar com formas indeterminadas. 
 
70. Problema: Determine a derivada segunda da função \( f(x) = \cos(2x) \). 
 Resolução: Derivamos \( f(x) \) duas vezes para encontrar a segunda derivada. 
 Explicação: Aplicamos as regras de derivação duas vezes para encontrar a segunda 
derivada.