Problemas de Cálculo Diferencial

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71. Problema: Encontre a área da região limitada pelas curvas \( y = \tan(x) \) e \( y = \sin(x) 
\) no intervalo \( 0 \leq x \leq \frac{\pi}{4} \). 
 Resolução: Calculamos a diferença entre as duas funções e integramos no intervalo 
dado. 
 Explicação: Utilizamos a técnica de integração para encontrar a área entre as duas 
curvas. 
 
72. Problema: Determine os pontos de interseção das curvas \( y = \sqrt{x} \) e \( y = \cos(x) 
\). 
 Resolução: Igualamos as duas equações e resolvemos para \( x \) e \( y \). 
 Explicação: Encontramos os pontos onde as duas curvas se encontram. 
 
73. Problema: Calcule a integral definida de \( \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} (\sin(x) - \cos(x)) \, dx 
\). 
 Resolução: Integramos a função e aplicamos os limites de integração. 
 Explicação: Usamos a propriedade da integral definida para calcular a área sob a curva 
no intervalo dado. 
 
74. Problema: Determine a derivada da função \( f(x) = \ln(\sin(x)) \). 
 Resolução: Aplicamos a regra da cadeia para derivar a função. 
 Explicação: Aplicamos a regra da cadeia para derivar a função. 
 
75. Problema: Determine a equação da reta tangente à curva \( y = \sin(x) \) no ponto \( 
(\frac{\pi}{6},\frac{1}{2}) \). 
 Resolução: Calculamos a derivada de \( y = \sin(x) \) e substituímos \( x = \frac{\pi}{6} \) 
para encontrar a inclinação da reta tangente. Em seguida, usamos a fórmula \( y - y_1 = 
m(x - x_1) \) para encontrar a equação da reta tangente. 
 Explicação: Utilizamos a definição de derivada para encontrar a inclinação da reta 
tangente e a equação da reta para encontrar a equação da reta tangente. 
 
76. Problema: Calcule o limite \( \lim_{{x \to 0}} \frac{{\sin(x)}}{x^3} \). 
 Resolução: Utilizamos a regra de L'Hôpital para resolver o limite indeterminado. 
 Explicação: Utilizamos a regra de L'Hôpital para lidar com formas indeterminadas. 
 
77. Problema: Determine a derivada segunda da função \( f(x) = \tan(x) \).