Problemas de Cálculo

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7. Problema: Determine o limite de \( h(x) = \frac{\cos(x) - 1}{x} \) quando \( x \) se aproxima 
de 0. 
 Resposta: O limite de \( h(x) \) é 0. Explicação: Podemos usar a regra de L'Hôpital para 
resolver essa indeterminação, que nos leva a \( \lim_{x \to 0} \frac{-\sin(x)}{1} = 0 \). 
 
8. Problema: Encontre os pontos críticos de \( f(x) = x^3 - 3x^2 + 2 \). 
 Resposta: Os pontos críticos de \( f(x) \) são \( x = 1 \) e \( x = 2 \). Explicação: Para 
encontrar os pontos críticos, igualamos a derivada de \( f(x) \) a zero e resolvemos para \( x 
\). 
 
9. Problema: Calcule a área da região limitada pelas curvas \( y = x^2 \) e \( y = 4x - x^2 \). 
 Resposta: A área da região é \( \frac{32}{3} \). Explicação: Para encontrar a área entre as 
curvas, calculamos a integral definida da diferença entre as funções. 
 
10. Problema: Determine a inclinação da reta tangente à curva \( y = e^x \) no ponto \( (0,1) 
\). 
 Resposta: A inclinação da reta tangente é 1. Explicação: A inclinação da reta tangente a 
uma função no ponto \( (a, f(a)) \) é dada pela derivada da função avaliada em \( x = a \). 
 
11. Problema: Encontre a solução da equação diferencial \( \frac{dy}{dx} = 2x \). 
 Resposta: A solução é \( y = x^2 + C \), onde \( C \) é uma constante arbitrária. 
Explicação: Essa é uma equação diferencial separável, então integramos ambos os lados 
para encontrar a solução geral. 
 
12. Problema: Calcule a integral indefinida de \( g(x) = \frac{1}{x} \). 
 Resposta: A integral de \( g(x) \) é \( \int \frac{1}{x} \, dx = \ln|x| + C \), onde \( C \) é a 
constante de integração. Explicação: Esta é a integral de uma função de potência 
negativa, então usamos a propriedade dos logaritmos naturais. 
 
13. Problema: Determine o limite de \( h(x) = \frac{e^x - 1}{x} \) quando \( x \) se aproxima 
de 0. 
 Resposta: O limite de \( h(x) \) é 1. Explicação: Podemos usar a definição de derivada 
para encontrar esse limite, que é \( \lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = \lim_{x \to 0} 
\frac{e^x}{1} = 1 \).