Problemas de Cálculo Diferencial

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Resposta: A área da região é \( 2 - \frac{1}{2} \ln(2) \). Explicação: Para encontrar a área 
entre as curvas, calculamos a integral definida da diferença entre as funções. 
 
36. Problema: Determine a inclinação da reta tangente à curva \( y = e^x \) no ponto \( (0,1) 
\). 
 Resposta: A inclinação da reta tangente é 1. Explicação: A inclinação da reta tangente a 
uma função no ponto \( (a, f(a)) \) é dada pela derivada da função avaliada em \( x = a \). 
 
37. Problema: Encontre a solução da equação diferencial \( \frac{dy}{dx} = \frac{1}{x} \). 
 Resposta: A solução é \( y = \ln|x| + C \), onde \( C \) é uma constante arbitrária. 
Explicação: Essa é uma equação diferencial separável, então integramos ambos os lados 
para encontrar a solução geral. 
 
38. Problema: Calcule a integral indefinida de \( g(x) = e^x \). 
 Resposta: A integral de \( g(x) \) é \( \int e^x \, dx = e^x + C \), onde \( C \) é a constante de 
integração. Explicação: Esta é a integral da função exponencial, então é a própria função 
mais uma constante. 
 
39. Problema: Determine o limite de \( h(x) = \frac{e^x - 1}{x} \) quando \( x \) se aproxima 
de 0. 
 Resposta: O limite de \( h(x) \) é 1. Explicação: Este é um limite fundamental que pode 
ser encontrado diretamente ou usando a regra de L'Hôpital. 
 
40. Problema: Encontre os pontos de inflexão da curva \( y = \sin(x) \). 
 Resposta: Não existem pontos de inflexão para \( y = \sin(x) \). Explicação: A função \( 
\sin(x) \) não muda de concavidade, portanto, não possui pontos de inflexão. 
 
41. Problema: Calcule a área da região limitada pelas curvas \( y = x^2 \) e \( y = \cos(x) \) 
no intervalo \( 0 \leq x \leq \frac{\pi}{2} \). 
 Resposta: A área da região é \( \frac{\pi}{2} - 1 \). Explicação: A área entre as curvas é 
dada pela diferença entre as integrais definidas das duas funções. 
 
42. Problema: Determine a derivada de \( f(x) = \ln(x^2) \). 
 Resposta: A derivada de \( f(x) \) é \( f'(x) = \frac{2x}{x^2} = \frac{2}{x} \). Explicação: 
Usamos a regra da potência e a derivada do logaritmo natural.