Problemas de Cálculo Matemático

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3. Problema: Calcule o valor de \( \frac{dy}{dx} \) para a função \( y = x^2 + 3x - 2 \). 
 Resposta: \( \frac{dy}{dx} = 2x + 3 \). Explicação: Para calcular a derivada da função em 
relação a x, aplicamos a regra da potência e somamos as derivadas de cada termo, 
resultando em \( \frac{dy}{dx} = 2x + 3 \). 
 
4. Problema: Determine os pontos de máximo e mínimo da função \( f(x) = x^2 - 4x + 5 \). 
 Resposta: O ponto de mínimo ocorre em (2, 1). Explicação: Para encontrar os pontos de 
máximo e mínimo, derivamos a função e igualamos a zero. Em seguida, resolvemos a 
equação para x e encontramos os valores de x correspondentes. Para determinar se é um 
ponto de máximo ou mínimo, podemos usar o teste da segunda derivada. 
 
5. Problema: Encontre a equação da circunferência com centro em (1, -2) e raio 3. 
 Resposta: A equação da circunferência é \( (x - 1)^2 + (y + 2)^2 = 9 \). Explicação: 
Utilizando a fórmula da circunferência \( (x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2 \), onde (h, k) é o centro e 
r é o raio, substituímos os valores dados na equação. 
 
6. Problema: Calcule a integral indefinida de \( \int (2x + 3) \, dx \). 
 Resposta: A integral indefinida é \( x^2 + 3x + C \), onde C é uma constante de integração. 
Explicação: Para calcular a integral indefinida, utilizamos a regra da potência da integral e 
a propriedade da soma da integral. 
 
7. Problema: Determine a área da região limitada pelas curvas \( y = x^2 \) e \( y = 2x - 1 \). 
 Resposta: A área da região é \( \frac{7}{3} \) unidades quadradas. Explicação: Para 
encontrar a área entre duas curvas, calculamos a integral da diferença entre as funções 
ao longo do intervalo de interseção. 
 
8. Problema: Encontre a equação da elipse com centro em (2, -1), eixos paralelos aos 
eixos coordenados e semi-eixos de comprimentos 4 e 2. 
 Resposta: A equação da elipse é \( \frac{(x - 2)^2}{4} + \frac{(y + 1)^2}{2} = 1 \). 
Explicação: Utilizando a fórmula da elipse com centro em (h, k) e semi-eixos a e b, 
substituímos os valores dados na equação. 
 
9. Problema: Determine os valores de x que satisfazem a equação \( |2x - 5| = 7 \). 
 Resposta: Os valores de x são 6 e -1. Explicação: Para resolver a equação modular, 
isolamos a expressão dentro do módulo e consideramos os casos em que a expressão é 
positiva e negativa.