Exercicios de matematica (157)

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16. Problema: Calcule a integral indefinida de \( \int \cos^2(x) \, dx \). 
 Resposta: A integral indefinida é \( \frac{x}{2} + \frac{\sin(2x)}{4} + C \), onde C é uma 
constante de integração. Explicação: Utilizando a identidade trigonométrica \( \cos^2(x) = 
\frac{1 + \cos(2x)}{2} \), podemos simplificar a integral. 
 
17. Problema: Determine a área da região limitada pelas curvas \( y = \sin(x) \) e \( y = 
\cos(x) \) no intervalo \( [0, \pi/2] \). 
 Resposta: A área da região é \( \frac{\pi}{4} \) unidades quadradas. Explicação: Para 
encontrar a área entre duas curvas, calculamos a integral da diferença entre as funções 
ao longo do intervalo de interseção. 
 
18. Problema: Encontre a equação da hipérbole com centro em (1, 2), eixos paralelos aos 
eixos coordenados e distância focal de 5. 
 Resposta: A equação da hipérbole é \( \frac{(x - 1)^2}{9} - \frac{(y - 2)^2}{16} = 1 \). 
Explicação: Utilizando a forma padrão da equação da hipérbole com centro em (h, k), 
eixos paralelos aos eixos coordenados e distâncias focais a e b, substituímos os valores 
dados na equação. 
 
19. Problema: Determine os valores de x que satisfazem a equação \( \sqrt{3x - 2} = 4 \). 
 Resposta: O valor de x é \( \frac{18}{3} = 6 \). Explicação: Para resolver a equação radical, 
isolamos a raiz quadrada e elevamos ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz. 
 
20. Problema: Calcule o produto vetorial entre os vetores \( \vec{u} = (2, 1, -3) \) e \( \vec{v} 
= (4, -2, 1) \). 
 Resposta: O produto vetorial é \( \vec{u} \times \vec{v} = (5, -14, -8) \). Explicação: O 
produto vetorial entre dois vetores \( \vec{u} \) e \( \vec{v} \) é dado pela determinante da 
matriz formada pelas componentes dos vetores, com as unidades i, j e k. 
 
21. Problema: Determine a equação da reta tangente à curva \( y = \ln(x) \) no ponto (1, 0). 
 Resposta: A equação da reta tangente é \( y = x - 1 \). Explicação: Para encontrar a 
equação da reta tangente, calculamos a derivada da função no ponto dado e utilizamos a 
equação da reta com essa derivada como inclinação. 
 
22. Problema: Encontre o ponto de interseção entre a reta \( y = -2x + 3 \) e a 
circunferência \( (x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 4 \).