Exercicios de matematica (160)

Prévia do material em texto

Resposta: A equação da parábola é \( y = \frac{1}{8}(x + 2)^2 + 1 \). Explicação: Utilizando 
a fórmula do vértice da parábola \( (h, k) \) e a equação da diretriz para encontrar o valor 
de p. 
 
36. Problema: Calcule a integral indefinida de \( \int e^{2x} \, dx \). 
 Resposta: A integral indefinida é \( \frac{e^{2x}}{2} + C \), onde C é uma constante de 
integração. Explicação: Utilizando a regra da exponencial para derivar a função. 
 
37. Problema: Determine a área da região limitada pelas curvas \( y = x^2 \) e \( y = \sqrt{x} 
\) no intervalo \( [0, 1] \). 
 Resposta: A área da região é \( \frac{1}{6} \) unidades quadradas. Explicação: Para 
encontrar a área entre duas curvas, calculamos a integral da diferença entre as funções 
ao longo do intervalo de interseção. 
 
38. Problema: Encontre a equação da hipérbole com centro em (3, -1), eixo transverso de 
comprimento 8 e distância focal de 5. 
 Resposta: A equação da hipérbole é \( \frac{(x - 3)^2}{9} - \frac{(y + 1)^2}{16} = 1 \). 
Explicação: Utilizando a forma padrão da equação da hipérbole com centro em (h, k), eixo 
transverso a e eixo conjugado b, substituímos os valores dados na equação. 
 
39. Problema: Determine os valores de x que satisfazem a equação \( \sqrt{2x + 3} = 5 \). 
 Resposta: O valor de x é \( \frac{97}{2} \). Explicação: Para resolver a equação radical, 
isolamos a raiz quadrada e elevamos ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz. 
 
40. Problema: Calcule o produto misto entre os vetores \( \vec{u} = (1, 2, -1) \), \( \vec{v} = (-
3, 0, 2) \) e \( \vec{w} = (4, -1, 5) \). 
 Resposta: O produto misto é \( 15 \). Explicação: O produto misto entre três vetores \( 
\vec{u} \), \( \vec{v} \) e \( \vec{w} \) é dado pelo determinante da matriz formada pelas 
componentes dos vetores. 
 
41. Problema: Determine a equação da reta tangente à curva \( y = e^{2x} \) no ponto (0, 1). 
 Resposta: A equação da reta tangente é \( y = 2x + 1 \). Explicação: Para encontrar a 
equação da reta tangente, calculamos a derivada da função no ponto dado e utilizamos a 
equação da reta com essa derivada como inclinação. 
 
42. Problema: Encontre o ponto de interseção entre a reta \( y = 4x -