DETERMINANTES 02 2024

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Álgebra Linear
Prof. Renato Tolentino de Sene
DETERMINANTE DE MATRIZES 
DEFINIÇÃO: O determinante de uma matriz quadrada A é 
um número real que depende UNICAMENTE dos termos da 
matriz.
O determinante nos permite associar a cada matriz 
quadrada A um número real que denotamos por det(A) ou 
|A|.
1. Determinante de uma matriz de ordem 1
Se 𝐴 = 𝑎 então det(A) = a.
2. Determinante de uma matriz de ordem 2
Se 𝐴 =
𝑎 𝑏
𝑐 𝑑
então det(A) = ad – bc.
Produto dos termos 
da diagonal principal
Produto dos termos da 
diagonal secundária
3. Determinante de uma matriz de ordem 3
(Regra de Sarrus)
Considere a matriz 𝐴 =
𝑎 𝑏 𝑐
𝑑 𝑒 𝑓
𝑔 ℎ 𝑖
.
Det(A) = 
𝑎 𝑏 𝑐
𝑑 𝑒 𝑓
𝑔 ℎ 𝑖
𝑎 𝑏
𝑑 𝑒
𝑔 ℎ
=
+ + +
aef + bfg + cde
- - -
-ceg – afh - bdi
aef + bfg + cde - ceg – afh - bdi
EXEMPLOS:
Calcule o determinante das matrizes abaixo:
A = [ -23 ] B = 
7 −2
5 −4
C = 
−1 0 1
3 2 −2
5 −1 4
TEOREMA DE LAPLACE PARA CÁLCULO DO 
DETERMINANTE DE MATRIZES 
Definição 1: Dada uma matriz quadrada A de 
ordem n, o menor complementar de um 
elemento qualquer 𝑎𝑖𝑗 da matriz A é o 
determinante da matriz 𝐴𝑖𝑗 obtida a partir da 
matriz A suprimindo a linha i e a coluna j.
Exemplo:
Considere a matriz A = 
−2 0 1
3 2 −2
5
−2
−1
2
4
1
0
3
1
0
.
Calcule o menor complementar dos termos 
𝑎32 e 𝑎14.
Definição 2: Dada uma matriz quadrada A de 
ordem n, denominamos cofator de um elemento 
𝑎𝑖𝑗 da matriz A número real dado por
𝒄𝑖𝑗 = −1 𝑖+𝑗det(𝐴𝑖𝑗)
Menor complementar do termo 𝒂𝒊𝒋
Exemplo:
Considere a matriz A = 
−2 0 1
3 2 −2
5
−2
−1
2
4
1
0
3
1
0
.
Calcule os cofatores dos termos 𝑎32 e 𝑎14.
TEOREMA DE LAPLACE
Seja A uma matriz quadrada de ordem n.
i) Escolha uma linha (fixe i) ou coluna (fixe j) da matriz A;
ii) Calcule o cofator dos elementos da linha ou coluna escolhida 
no item anterior.
iii) Supondo que foi escolhida uma linha k o determinante da 
matriz será dado por:
det 𝐴 =෍
𝑗=1
𝑛
𝑎𝑘𝑗𝑐𝑘𝑗
onde 𝑎𝑘𝑗 é elemento da linh.a k e 𝑐𝑘𝑗 seu respectivo cofator
Exemplo:
Use o teorema de Laplace para calcular o 
determinante das matrizes abaixo:
a) A = 
−2 0 1
3 2 −2
5
−2
−1
2
4
1
0
3
1
0
b) B = 
−3 1 −1
0 2 3
3 2 −5
Algumas propriedades do 
DETERMINANTE
1. Se a matriz A tem uma linha ou coluna nula 
(com todos os elementos iguais a zero) então 
o determinante de A é igual a ZERO.
2. Se a matriz A tem duas linhas (ou duas 
colunas) com elementos iguais (ou 
proporcionais) então determinante de A é 
igual a ZERO.
3. Se A uma matriz de ordem n então dado um 
número k temos que
det 𝑘𝐴 = 𝑘𝑛det(𝐴)
4. det 𝐴𝑡 = det 𝐴
5. Dada a matriz A. Se trocarmos duas linhas 
(colunas) da matriz A obtendo uma nova matriz 
A’ então det(A’) = -det(A).
6. Se A é uma matriz triangular então seu 
determinante é dado simplesmente pelo PRODUTO 
DOS ELEMENTOS DA DIAGONAL PRINCIPAL.
7. Sejam A e B duas matrizes quadradas de ordem n 
então: 
det 𝐴𝐵 = det 𝐴 det(𝐵)
8. Seja 𝐼𝑛 a matriz identidade de ordem n, então:
det(𝐼𝑛) = 1
9. O determinante da matriz nula de ordem n é zero.
10. Dada as matrizes A e B de ordem n. Se trocarmos 
qualquer linha (coluna) da matriz A por outra linha 
(coluna) obtida pela soma de uma linha(coluna) da matriz 
A com outra linha (coluna) multiplicada por um número 
iremos obter uma matriz B tal que det(B) = det(A) 
11. 𝑑𝑒 𝐴−1 =
1
det(𝐴)
com det 𝐴 ≠ 0
Determinante e matriz inversa
Teorema: Uma matriz quadrada A é invertível 
se, e somente se, det 𝐴 ≠ 0.
Exemplo:
1. Verifique se as matrizes abaixo são invertíveis:
a) 𝐴 =
2 −1 5
1 0 8
−7
−4
0
8
2
7
9
−10
−7
2 6
3 −5
4
−4
1
2
−12
15
b) B = 𝑏𝑖𝑗 5𝑋5
tal que 𝑏𝑖𝑗 = ቐ
2𝑖 − 3𝑗, 𝑠𝑒 𝑖 > 𝑗
−𝑖, 𝑠𝑒 𝑖 = 𝑗
0, 𝑠𝑒 𝑖 < 𝑗
.
Matriz inversa
Sabemos que uma matriz A possui inversa se, e 
somente se det(A) ≠ 0.
Uma vez que isso acontece podemos obter a 
matriz inversa. Vejamos posteriormente dois 
métodos para obter a matriz inversa de uma 
matriz de ordem n.
Operações elementares sobre as 
linhas de uma matriz
1. Permutar (trocar) duas linhas;
2. Multiplicar uma linha por um número real 
diferente de zero;
3. Somar duas linhas da matriz;
4. Somar a uma linha outra linha multiplicada por 
um número real diferente de zero.
Método de obtenção da matriz inversa através das 
operações elementares
EXEMPLO: Considere a matriz 
𝐴 =
1 0 2
1 −1 0
0
1
1
0
1
0
0
1
0
1
.
Verifique se A tem inversa e determine a matriz 
inversa.
Método da matriz adjunta para 
obtenção da matriz inversa
Definição 1: Seja A uma matriz quadrada de 
ordem n e considere a matriz C onde seus 
elementos são os cofatores dos termos da 
matriz A. Chamamos de matriz adjunta de A, e 
denotamos por adj(A) a matriz transposta da 
matriz C, ou seja,
𝒂𝒅𝒋 𝑨 = 𝑪𝒕
Dessa forma, se det(A) é diferente de zero então
𝐴−1 =
1
det 𝐴
𝑎𝑑𝑗(𝐴)
Exemplo:
Calcule a matriz inversa das matrizes abaixo(se 
possível) usando a matriz adjunta.
a) 𝑀 =
−1 −3
5 2
b) 𝑁 =
0 1 2
1 1 0
0 −1 0
MATRIZES SEMELHANTES
Definição: Duas matrizes de ordem n são 
semelhantes se, e somente se, existir uma 
matriz P com det(P) não nulo tal que 
𝑩 = 𝑷−𝟏𝑨𝑷
Exercícios
1. Usando as propriedades de determinantes 
verifique que se A e B são matrizes semelhantes 
então det(A) = det(B).
2. Determine uma fórmula geral para matriz 
inversa de uma matriz de ordem 2 qualquer. Use 
a fórmula acima para escrever a matriz inversa
de X =
1
3
2
−4
5
1
2
3. Dadas as matrizes A e B. Mostre que elas são 
semelhantes. 
A =
4 2
3 −1
e 𝑀 =
5 0
0 −2