Problemas de Cálculo Matemático

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85. Problema: Determine a área da região limitada pelas curvas \( y = x^3 \) e \( y = e^x \) 
no intervalo \( [0, 1] \). 
 Resposta: A área é \( e - 1 \). 
 
86. Problema: Calcule a integral \( \int \frac{\tan(x)}{\cos(x)} \,dx \). 
 Resposta: A integral é \( -\ln|\cos(x)| + C \). 
 
87. Problema: Encontre os valores de \( a \) e \( b \) para que a função \( f(x) = ax^3 - 3x^2 + 
bx + 2 \) tenha um ponto de inflexão em \( x = -1 \). 
 Resposta: \( a = -1 \) e \( b = -3 \). 
 
88. Problema: Determine o volume do sólido obtido pela rotação da região limitada pelas 
curvas \( y = \sin(x) \) e \( y = \cos(x) \) em torno do eixo \( x \). 
 Resposta: O volume é \( \frac{8}{3}\pi \). 
 
89. Problema: Calcule a derivada da função \( f(x) = \frac{\ln(x)}{x^2} \). 
 Resposta: A derivada é \( \frac{1 - 2\ln(x)}{x^3} \). 
 
90. Problema: Determine a área da região limitada pelas curvas \( y = x^3 \) e \( y = e^x \) 
no intervalo \( [0, 1] \). 
 Resposta: A área é \( e - 1 \). 
 
91. Problema: Calcule a integral \( \int \frac{\tan(x)}{\cos(x)} \,dx \). 
 Resposta: A integral é \( -\ln|\cos(x)| + C \). 
 
92. Problema: Encontre os valores de \( a \) e \( b \) para que a função \( f(x) = ax^3 - 3x^2 + 
bx + 2 \) tenha um ponto de inflexão em \( x = -1 \). 
 Resposta: \( a = -1 \) e \( b = -3 \). 
 
93. Problema: Determine o volume do sólido obtido pela rotação da região limitada pelas 
curvas \( y = \sin(x) \) e \( y = \cos(x) \) em torno do eixo \( x \). 
 Resposta: O volume é \( \frac{8}{3}\pi \).