Matematica analitica (167)

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48. Problema: Qual é o valor de \( \sqrt{81} - \sqrt{64} + \sqrt{49} \)? 
 Resposta: \( \sqrt{81} - \sqrt{64} + \sqrt{49} = 9 - 8 + 7 = 8 \). 
 Explicação: \( \sqrt{81} = 9 \), \( \sqrt{64} = 8 \), \( \sqrt{49} = 7 \), então \( \sqrt{81} - 
\sqrt{64} + \sqrt{49} = 9 - 8 + 7 = 8 \). 
 
49. Problema: Qual é o valor de \( \int_{-2}^2 x^2 \, dx \)? 
 Resposta: \( \int_{-2}^2 x^2 \, dx = \frac{16}{3} \). 
 Explicação: A área é dada pela integral de \( x^2 \) de \( -2 \) a \( 2 \), que é \( \frac{16}{3} 
\). 
 
50. Problema: Se \( \frac{dy}{dx} = x^2 \), qual é \( y \) quando \( x = 1 \) e \( y = 2 \)? 
 Resposta: \( y = \frac{x^3}{3} + C \), onde \( C \) é uma constante de integração. 
Substituindo \( x = 1 \) e \( y = 2 \), podemos resolver para \( C \), obtendo \( C = \frac{5}{3} 
\). Portanto, \( y = \frac{x^3}{3} + \frac{5}{3} \). 
 Explicação: Esta é uma equação diferencial que podemos resolver integrando ambos os 
lados. A integral de \( x^2 \) em relação a \( x \) é \( \frac{x^3}{3} + C \), onde \( C \) é uma 
constante de integração. 
 
51. Problema: Qual é o valor de \( \sqrt{121} - \sqrt{100} + \sqrt{81} \)? 
 Resposta: \( \sqrt{121} - \sqrt{100} + \sqrt{81} = 11 - 10 + 9 = 10 \). 
 Explicação: \( \sqrt{121} = 11 \), \( \sqrt{100} = 10 \), \( \sqrt{81} = 9 \), então \( \sqrt{121} - 
\sqrt{100} + \sqrt{81} = 11 - 10 + 9 = 10 \). 
 
52. Problema: Qual é o valor de \( \int_{-1}^1 x \, dx \)? 
 Resposta: \( \int_{-1}^1 x \, dx = 0 \). 
 Explicação: Como \( x \) é uma função ímpar, a integral de \( x \) de \( -a \) a \( a \) é 
sempre \( 0 \). 
 
53. Problema: Se \( \frac{dy}{dx} = \cos{x} \), qual é \( y \) quando \( x = \frac{\pi}{2} \) e \( y = 
1 \)? 
 Resposta: \( y = \sin{x} + C \), onde \( C \) é uma constante de integração. Substituindo \( 
x = \frac{\pi}{2} \) e \( y = 1 \), podemos resolver para \( C \), obtendo \( C = 0 \). Portanto, \( y 
= \sin{x} \).