Problemas de Cálculo e Álgebra

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19. Problema: Determine a derivada direcional da função \( f(x, y) = x^2 + 3y^2 \) no ponto 
\( (1,2) \) na direção do vetor \( \mathbf{v} = \langle 1, -1 \rangle \). 
 Resposta: A derivada direcional é \( \nabla f \cdot \mathbf{v} = 5 \). 
 Explicação: Calculamos o gradiente da função e então encontramos o produto escalar 
entre o gradiente e o vetor direção. 
 
20. Problema: Resolva a equação \( \sin(x) = \cos(x) \). 
 Resposta: A solução é \( x = \frac{\pi}{4} \). 
 Explicação: Utilizamos as propriedades das funções trigonométricas para encontrar o 
valor de \( x \). 
 
21. Problema: Calcule a integral dupla \( \iint_R (x + y) \, dA \), onde \( R \) é a região 
delimitada pelo retângulo com vértices \( (0,0) \), \( (2,0) \), \( (2,3) \), \( (0,3) \). 
 Resposta: A integral dupla é \( 15 \). 
 Explicação: Integramos a função sobre a região \( R \) usando coordenadas 
retangulares. 
 
22. Problema: Determine a área da região delimitada pela curva \( y = \sin(x) \) e o eixo \( x 
\) no intervalo \( [0, \pi] \). 
 Resposta: A área é \( 2 \). 
 Explicação: Utilizamos integração definida para calcular a área entre a curva e o eixo \( x 
\) no intervalo dado. 
 
23. Problema: Encontre a equação da reta que passa pelos pontos \( (1,2) \) e \( (3,4) \). 
 Resposta: A equação da reta é \( y = x + 1 \). 
 Explicação: Utilizamos os pontos dados para encontrar a inclinação da reta e, em 
seguida, usamos a equação ponto-inclinação para determinar a equação da reta. 
 
24. Problema: Resolva a equação diferencial \( \frac{{dy}}{{dx}} = y^2 \) com a condição 
inicial \( y(0) = 1 \). 
 Resposta: A solução é \( y = \frac{1}{{1 - x}} \). 
 Explicação: Podemos separar as variáveis e integrar ambos os lados da equação 
diferencial para encontrar a solução.