Problemas de Cálculo Matemático

Prévia do material em texto

Resposta: A integral definida é \( 1 \). 
 Explicação: Utilizamos as propriedades do cosseno e calculamos a integral entre os 
limites especificados. 
 
44. Problema: Encontre a inversa da função \( f(x) = \frac{{3}}{{x - 2}} \). 
 Resposta: A inversa é \( f^{-1}(x) = \frac{{3}}{{x}} + 2 \). 
 Explicação: Trocamos \( x \) por \( y \) e \( y \) por \( x \) na função original e resolvemos 
para \( y \). 
 
45. Problema: Determine a solução geral da equação diferencial \( \frac{{dy}}{{dx}} = y^3 \). 
 Resposta: A solução geral é \( y = \frac{{1}}{{\sqrt{{C - x}}}} \), onde \( C \) é uma constante 
arbitrária. 
 Explicação: Podemos separar as variáveis e integrar ambos os lados da equação 
diferencial para encontrar a solução. 
 
46. Problema: Calcule a derivada direcional da função \( f(x, y) = x^2 + 2y^2 \) no ponto \( 
(1,1) \) na direção do vetor \( \mathbf{v} = \langle 1, 1 \rangle \). 
 Resposta: A derivada direcional é \( \nabla f \cdot \mathbf{v} = 4 \). 
 Explicação: Calculamos o gradiente da função e então encontramos o produto escalar 
entre o gradiente e o vetor direção. 
 
47. Problema: Resolva a equação \( \log_2(x) = 4 \). 
 Resposta: A solução é \( x = 2^4 = 16 \). 
 Explicação: Util 
 
izamos a definição de logaritmo para encontrar o valor de \( x \). 
 
48. Problema: Determine a área da região delimitada pelas curvas \( y = \sin(x) \) e \( y = 
\cos(x) \) no intervalo \( [0, \pi] \). 
 Resposta: A área é \( 2 \). 
 Explicação: Utilizamos integração definida para calcular a área entre as curvas no 
intervalo dado.