Matematica ensino medio-476

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33. Problema: Determine a equação da elipse com focos \( F_1 = (-2, 0) \) e \( F_2 = (2, 0) \), 
e eixo maior de comprimento 6. 
 Resposta: A equação da elipse é \( \frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} = 1 \). Explicação: 
Utilizamos as propriedades geométricas da elipse para escrever sua equação. 
 
34. Problema: Resolva a equação diferencial \( y' + y = e^{-x} \). 
 Resposta: \( y = ce^{-x} + e^{-x} \), onde \( c \) é a constante de integração. Explicação: 
Utilizamos o método de integração de fator integrante. 
 
35. Problema: Calcule a soma dos \( n \) primeiros termos de uma progressão aritmética 
onde o último termo é 50, e a razão é 2. 
 Resposta: A soma é \( \frac{n(2 \cdot 50 - (n-1) \cdot 2)}{2} \). Explicação: Utilizamos a 
fórmula da soma dos termos de uma PA. 
 
36. Problema: Determine a solução da equação diferencial \( y'' - 4y' + 4y = 0 \). 
 Resposta: \( y = (c_1 + c_2x)e^{2x} \), onde \( c_1 \) e \( c_2 
 
 \) são constantes. Explicação: A equação característica desta EDO é \( r^2 - 4r + 4 = 0 \), 
que possui uma raiz dupla. 
 
37. Problema: Encontre a área da região delimitada pela curva \( y = \ln(x) \), o eixo \( x \) e 
as retas \( x = 1 \) e \( x = 3 \). 
 Resposta: A área é \( 2\ln(3) - 2 \) unidades quadradas. Explicação: Calculamos a 
integral da função no intervalo dado. 
 
38. Problema: Resolva a inequação \( \frac{1}{x} - 2 > 0 \). 
 Resposta: \( x \in (0, \frac{1}{2}) \). Explicação: Resolvemos a inequação \( \frac{1}{x} > 2 
\) e verificamos os valores de \( x \) que satisfazem a desigualdade. 
 
39. Problema: Determine a área da região delimitada pela curva \( y = \frac{1}{x} \) e o eixo 
\( x \) entre \( x = 1 \) e \( x = 2 \). 
 Resposta: A área é \( \ln(2) \) unidades quadradas. Explicação: Calculamos a integral da 
função no intervalo dado.