Matematica ensino medio-479

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56. Problema: Resolva a equação diferencial \( y'' + 4y = 0 \). 
 Resposta: \( y = c_1 \cos(2x) + c_2 \sin(2x) \), onde \( c_1 \) e \( c_2 \) são constantes. 
Explicação: A equação característica desta EDO é \( r^2 + 4 = 0 \), que possui raízes 
imaginárias. 
 
57. Problema: Determine a área da região limitada pelas curvas \( y = e^x \) e \( y = \ln(x) \) 
no intervalo \( [1, e] \). 
 Resposta: A área é 1 unidade quadrada. Explicação: Calculamos a integral da diferença 
entre as duas funções no intervalo dado. 
 
58. Problema: Resolva a inequação \( 2^{x-3} + 3 < 2^{x-2} \). 
 Resposta: \( x \in (-\infty, 3) \). Explicação: Reescrevemos a inequação como \( 2^{x-3}(2 
- 2^x) < 0 \) e analisamos os sinais da função. 
 
59. Problema: Encontre a derivada da função \( f(x) = \cos^2(x) \). 
 Resposta: \( f'(x) = -2\cos(x)\sin(x) \). Explicação: Utilizamos a regra da cadeia para 
derivar a função trigonométrica. 
 
60. Problema: Determine a equação da reta tangente à curva \( y = \frac{1}{x} \) no ponto \( 
(2, \frac{1}{2}) \). 
 Resposta: A equação da reta tangente é \( y = \frac{1}{2} - \frac{1}{4}(x-2) \). Explicação: 
Calculamos a derivada da função e encontramos sua inclinação no ponto dado. 
 
61. Problema: Calcule a soma dos \( n \) primeiros termos de uma progressão aritmética 
onde o primeiro termo é 1 e a diferença é \( \frac{1}{2} \). 
 Resposta: A soma é \( \frac{n(2 + (n-1)/2)}{2} \). Explicação: Utilizamos a fórmula da 
soma dos termos de uma PA. 
 
62. Problema: Determine a solução geral da equação diferencial \( y'' + y = 0 \). 
 Resposta: \( y = c_1 \cos(x) + c_2 \sin(x) \), onde \( c_1 \) e \( c_2 \) são constantes. 
Explicação: A equação característica desta EDO é \( r^2 + 1 = 0 \), que possui raízes 
imaginárias. 
 
63. Problema: Resolva a equação \( \log_3(x) = 2 \).