Equações Diferenciais e Integrais

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75. Problema: Encontre a solução geral da equação diferencial \( \frac{dy}{dx} = \sin(x) \). 
 Resposta: Integrando ambos os lados, obtemos \( y = -\cos(x) + C \), onde \( C \) é a 
constante de integração. 
 
76. Problema: Resolva a integral indefinida \( \int \cos(x) \, dx \). 
 Resposta: A integral de \( \cos(x) \) é \( \sin(x) + C \), onde \( C \) é a constante de 
integração. 
 
77. Problema: Determine a inversa da função \( f(x) = \sin(x) \). 
 Resposta: Trocando \( x \) e \( y \) na equação, temos \( x = \sin(y) \). Tomando o arcseno 
de ambos os lados, obtemos \( \ 
 
arcsin(x) = y \), então a inversa de \( f(x) \) é \( f^{-1}(x) = \arcsin(x) \). 
 
78. Problema: Encontre a solução para a equação \( \log(x) = \frac{1}{2} \). 
 Resposta: Isolando \( x \), temos \( x = e^{1/2} = \sqrt{e} \). 
 
79. Problema: Resolva a equação diferencial \( \frac{dy}{dx} = 5y \). 
 Resposta: Esta é uma equação diferencial separável. Dividindo ambos os lados por \( y 
\), obtemos \( \frac{1}{y} \, dy = 5 \, dx \). Integrando ambos os lados, temos \( \ln|y| = 5x + C 
\), onde \( C \) é a constante de integração. Exponenciando, obtemos \( |y| = e^{5x + C} = 
Ce^{5x} \), onde \( C \) é uma constante arbitrária. 
 
80. Problema: Determine a derivada segunda de \( y = \tan(x) \). 
 Resposta: A derivada primeira de \( y = \tan(x) \) é \( \frac{dy}{dx} = \sec^2(x) \). Então, a 
segunda derivada é \( \frac{d^2y}{dx^2} = 2\sec^2(x)\tan(x) \). 
 
81. Problema: Resolva a equação exponencial \( 2e^x = 10 \). 
 Resposta: Dividindo ambos os lados por 2, obtemos \( e^x = 5 \). Tomando o logaritmo 
natural de ambos os lados, obtemos \( x = \ln(5) \). 
 
82. Problema: Calcule a soma dos termos da série geométrica infinita \( 1 + \frac{1}{2} + 
\frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \ldots \).