Problemas e Soluções Matemáticas

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Explicação: Podemos resolver este sistema de equações substituindo x = y + 1 na 
primeira equação. Assim, obtemos (y + 1)^2 + y^2 = 25, que simplifica para 2y^2 + 2y - 24 
= 0. Resolvendo esta equação quadrática, obtemos y = -4 ou y = 3. Como x - y = 1, temos 
que quando y = 3, x = 4, e quando y = -4, x = -3. Então, xy = 4 * 3 = 12. 
 
7. Problema: Se a razão entre a área de um quadrado e um retângulo é 1:2 e o perímetro 
do quadrado é 20 cm, encontre o perímetro do retângulo. 
 Resposta: O perímetro do retângulo é 30 cm. 
 Explicação: Se a razão entre as áreas é 1:2, então as razões dos lados são √1:√2 = 1:√2. 
Se o perímetro do quadrado é 20 cm, cada lado mede 5 cm. Portanto, os lados do 
retângulo são 5:5√2. O perímetro é 2*(5 + 5√2) = 30 cm. 
 
8. Problema: Resolva a equação logarítmica log3(x - 1) + log3(x + 1) = 2. 
 Resposta: x = 4. 
 Explicação: Usando a propriedade dos logaritmos loga(x) + loga(y) = loga(xy), obtemos 
log3((x - 1)(x + 1)) = 2. Simplificando, temos log3(x^2 - 1) = 2. Convertendo para forma 
exponencial, temos 3^2 = x^2 - 1, então x^2 = 10 e x = ±√10. Como x deve ser positivo, x = 
√10 = 4. 
 
9. Problema: Calcule a soma dos quadrados dos primeiros 10 números inteiros positivos. 
 Resposta: A soma é 385. 
 Explicação: A fórmula para a soma dos quadrados dos primeiros n números inteiros 
positivos é S = n(n + 1)(2n + 1) / 6. Substituindo n = 10, obtemos S = 10 * 11 * 21 / 6 = 385. 
 
10. Problema: Se f(x) = x^3 + 3x^2 + 3x + 1, encontre f'(x), a derivada de f(x). 
 Resposta: f'(x) = 3x^2 + 6x + 3. 
 Explicação: Para encontrar a derivada de f(x), aplicamos as regras de diferenciação. A 
derivada de x^n é nx^(n-1), então f'(x) = 3x^2 + 6x + 3. 
 
11. Problema: Se loga(x) = p e loga(y) = 
 
 q, prove que logxy = pq. 
 Resposta: logxy = loga(x) + loga(y) = p + q = pq. 
 Explicação: Usando a propriedade dos logaritmos loga(xy) = loga(x) + loga(y), temos 
logxy = p + q = pq.